Image d'un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires

4.1 Image d'un intervalle

Théorème (admis). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Si, en plus, $f$ est strictement monotone, l'image se lit directement aux bornes. Les crochets ouverts correspondent à des limites :

Attention. Si $f$ n'est pas monotone, il faut le tableau de variation.

Exemple. L'image de $[-1;2]$ par $x \mapsto x^2$ est $[0;4]$, et non $[1;4]$. La fonction descend jusqu'à $0$ (en $x = 0$) avant de remonter jusqu'à $4$.

4.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (admis). Soit $f$ continue sur $[a;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a;b]$ tel que $f(c) = k$.

Cas particulier très utilisé. Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, c'est-à-dire $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $]a;b[$.

Corollaire (cas strictement monotone). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a;b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a une unique solution dans $[a;b]$. Ce résultat reste vrai sur un intervalle quelconque, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes.

Méthode : rédiger « l'équation $f(x) = k$ a une unique solution sur $I$ »

1. $f$ est continue sur $I$ (justifier).
2. $f$ est strictement monotone sur $I$ (en général par le signe de $f'$).
3. $k$ appartient à $f(I)$ (calculer l'image ou les limites aux bornes).
4. Conclure par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple 12. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et que $\alpha \in\, ]0;1[$.

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.
2. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
3. $\displaystyle\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{+\infty} f = +\infty$, donc $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$, qui contient $0$.
4. L'équation $f(x) = 0$ a donc une unique solution $\alpha$. De plus, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$, donc $\alpha \in\, ]0;1[$.

4.3 Valeur approchée d'un zéro

Méthode 1 : la dichotomie. On coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où $f$ change de signe. Avec l'exemple 12 :

Après 4 étapes, $0{,}625 < \alpha < 0{,}6875$. Chaque étape divise la largeur par 2.

Méthode 2 : le balayage. On calcule $f$ avec un pas fixe, à la calculatrice. $f(0{,}68) \approx -0{,}0056 < 0$ et $f(0{,}69) \approx 0{,}0185 > 0$, donc $0{,}68 < \alpha < 0{,}69.$ C'est un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.