Dérivées successives, dérivabilité en un point, inégalité des accroissements finis

3.1 Dérivées successives

Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde $f'' = (f')'$. On continue : $f''' = (f'')'$, puis, pour tout entier $n \geq 1$, la dérivée n-ième $f^{(n)} = \big(f^{(n-1)}\big)'$, avec la convention $f^{(0)} = f$.

Exemple 8. $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ : $f'(x) = 3x^2-4x+5$, $f''(x) = 6x-4$, $f'''(x) = 6$, et $f^{(4)}(x) = 0$. Pour un polynôme de degré $3$, toutes les dérivées à partir de la quatrième sont nulles.

Exemple 9. $f(x) = \dfrac1x$ sur $]0;+\infty[$ : $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$, $f'''(x) = -\dfrac{6}{x^4}$.

Exemple 10. Les dérivées de $\sin$ reviennent tous les quatre coups : $\sin' = \cos$, $\sin'' = -\sin$, $\sin''' = -\cos$, $\sin^{(4)} = \sin$.

En physique. Si $x(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$, sa vitesse est $v(t) = x'(t)$ et son accélération est $a(t) = v'(t) = x''(t)$.

3.2 Dérivabilité en un point : la limite de la dérivée

Rappel. $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite réelle quand $x \to a$. Aux bornes d'un intervalle, on parle de dérivabilité à droite ou à gauche.

Calculer ce taux est parfois long. Le théorème suivant permet de conclure avec la limite de $f'$.

Théorème (admis en S2-S4, démontré en S1-S3 à la leçon 7). Soit $f$ continue en $a$ et dérivable sur un intervalle $]a;b[$. On suppose que $f'(x)$ a une limite $\ell$ quand $x \to a^+$.

• Si $\ell$ est un réel, $f$ est dérivable à droite en $a$ et $f'_d(a) = \ell$. La courbe a une demi-tangente de pente $\ell$.
• Si $\ell = +\infty$ ou $-\infty$, le taux d'accroissement tend aussi vers $\ell$ : $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$, et la courbe a une demi-tangente verticale.

Le même énoncé vaut à gauche de $a$.

Attention. L'hypothèse « $f$ continue en $a$ » est indispensable. Et si $f'$ n'a pas de limite en $a$, on ne peut rien conclure : on revient au taux d'accroissement.

Exemple 11. $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty[$. $f$ est continue en $0$, et pour $x > 0$, $f'(x) = \frac32\sqrt{x} \to 0$ quand $x \to 0^+$. Donc $f$ est dérivable à droite en $0$, avec $f'(0) = 0$ : demi-tangente horizontale.

Exemple 12. On reprend $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ de l'exemple 4, continue sur $[-2;2]$. Quand $x \to 2^-$, $f'(x) = \dfrac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}$ a un numérateur qui tend vers $-4$ et un dénominateur qui tend vers $0^+$, donc $f'(x) \to -\infty$. $f$ n'est pas dérivable en $2$ : la courbe y a une demi-tangente verticale.

3.3 Inégalité des accroissements finis

Théorème. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

1. Soient $a < b$ dans $I$. Si $m \leq f'(x) \leq M$ pour tout $x \in [a;b]$, alors $m(b-a) \leq f(b)-f(a) \leq M(b-a).$
2. Si $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in I$, alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : $|f(b)-f(a)| \leq M\,|b-a|.$

Démonstration de la forme 1. La fonction $g(x) = Mx - f(x)$ a pour dérivée $g'(x) = M - f'(x) \geq 0$ sur $[a;b]$ : elle est croissante. Donc $g(a) \leq g(b)$, c'est-à-dire $Ma - f(a) \leq Mb - f(b)$, soit $f(b)-f(a) \leq M(b-a)$. L'autre inégalité s'obtient de la même façon avec $h(x) = f(x) - mx$. La forme 2 s'en déduit en prenant $m = -M$.

Sens concret. Si la vitesse d'une voiture reste entre $m$ et $M$, la distance parcourue pendant une durée $b-a$ reste entre $m(b-a)$ et $M(b-a)$.

Exemple 13. Pour tous réels $a$ et $b$, $|\sin b - \sin a| \leq |b-a|$. En effet, $|\sin'(x)| = |\cos x| \leq 1$ pour tout $x$. Avec $a = 0$, on obtient $|\sin b| \leq |b|$ pour tout réel $b$.

Exemple 14. Encadrer $\sqrt{4{,}1}$.

On applique la forme 1 à $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[4;4{,}1]$, avec $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Pour $4 \leq x \leq 4{,}1$, on a $2 \leq \sqrt{x} \leq 2{,}1$ (car $2{,}1^2 = 4{,}41$), donc $\frac{1}{4{,}2} \leq f'(x) \leq \frac14.$ Avec $b - a = 0{,}1$ : $\dfrac{0{,}1}{4{,}2} \leq \sqrt{4{,}1} - 2 \leq \dfrac{0{,}1}{4}$, d'où $2 + \frac{1}{42} \leq \sqrt{4{,}1} \leq 2{,}025, \quad\text{soit}\quad 2{,}023 < \sqrt{4{,}1} \leq 2{,}025.$