Primitives des fonctions composées

5.1 Lire la dérivée d'une composée à l'envers

Puisque $(g\circ u)' = (g'\circ u) \times u'$, la fonction $g \circ u$ est une primitive de $(g'\circ u) \times u'$. On en tire le tableau suivant, où $u$ est dérivable sur $I$.

Méthode.

1. Repérer la fonction « intérieure » $u$ et calculer $u'$.
2. Faire apparaître exactement $u'$, quitte à multiplier et diviser par une constante.
3. Appliquer la ligne du tableau, puis vérifier en dérivant.

Exemple 18. $f(x) = x(x^2+1)^3$. Avec $u(x) = x^2+1$, $u'(x) = 2x$. Il manque un facteur $2$ : $f(x) = \frac12 \times 2x(x^2+1)^3 = \frac12 u'u^3$. Une primitive est $F(x) = \frac12 \times \frac{(x^2+1)^4}{4} = \frac{(x^2+1)^4}{8}.$

Exemple 19. $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$. Avec $u(x) = x^2+4 > 0$ et $u'(x) = 2x$ : $f = \frac12 \dfrac{u'}{\sqrt u}$. Une primitive est $F(x) = \frac12 \times 2\sqrt{x^2+4} = \sqrt{x^2+4}$.

Exemple 20. $f(x) = \dfrac{2x+1}{(x^2+x+3)^2}$. Ici $u(x) = x^2+x+3$ ne s'annule pas (discriminant $-11$) et $u' = 2x+1$ est déjà là : une primitive est $F(x) = -\dfrac{1}{x^2+x+3}$.

Exemple 21. $f(x) = \sin x\cos^2 x$. Avec $u = \cos x$, $u' = -\sin x$, donc $f = -u'u^2$. Une primitive est $F(x) = -\dfrac{\cos^3 x}{3}$.

Exemple 22. $f(x) = x\cos(x^2) = \frac12 \times 2x\cos(x^2)$. Une primitive est $F(x) = \frac12\sin(x^2)$.

Exemple 23. $f(x) = x\sqrt{x^2+1} = \frac12 \times 2x\,(x^2+1)^{\frac12}$. Une primitive est $F(x) = \frac12 \times \frac{(x^2+1)^{\frac32}}{\frac32} = \frac13(x^2+1)^{\frac32} = \frac13(x^2+1)\sqrt{x^2+1}.$

5.2 Quand il faut d'abord transformer l'écriture

Certaines fonctions ne sont dans aucun tableau. Une indication permet alors de les transformer.

Exemple 24. Avec l'indication $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$, une primitive de $\cos^2 x$ est $F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}.$

Exemple 25. Vérifier que, pour $x \neq -1$, $\dfrac{2x^2+4x+3}{(x+1)^2} = 2 + \dfrac{1}{(x+1)^2}$, puis trouver une primitive sur $]{-1};+\infty[$.

$2(x+1)^2 + 1 = 2x^2+4x+2+1 = 2x^2+4x+3$ : l'égalité est vraie. Avec $u(x) = x+1$, $u' = 1$, une primitive de $\frac{1}{(x+1)^2}$ est $-\frac{1}{x+1}$. Une primitive cherchée est donc $F(x) = 2x - \dfrac{1}{x+1}$.

Exemple 26. Trouver la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ telle que $F(0) = 1$.

D'après l'exemple 19, $F(x) = \sqrt{x^2+4} + c$. La condition $F(0) = 2 + c = 1$ donne $c = -1$, donc $F(x) = \sqrt{x^2+4} - 1$.

À venir au chapitre 3 : les primitives de $\frac{u'}{u}$ (avec le logarithme) et de $u'e^u$ (avec l'exponentielle).