Valeur moyenne, changement de variable, intégrales trigonométriques

8.1 Valeur moyenne d'une fonction

Définition. Soit $f$ continue sur $[a;b]$, avec $a < b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le réel $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.$

Interprétation graphique. Pour $f$ positive, $\mu(b - a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : le rectangle de base $[a;b]$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe.

Propriété. Si $m \leq f \leq M$ sur $[a;b]$, alors $m \leq \mu \leq M$ (on divise l'inégalité de la moyenne par $b - a > 0$). De plus, l'image du segment $[a;b]$ par $f$ continue est un segment (chapitre 1), qui contient $\mu$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c$ de $[a;b]$ tel que $f(c) = \mu$.

Exemple 1. La valeur moyenne de $\sin$ sur $[0;\pi]$ est $\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}64$.

Exemple 2. La valeur moyenne de $x \mapsto x^2$ sur $[0;3]$ est $\dfrac13 \times 9 = 3$, atteinte en $c = \sqrt3$.

En physique. La vitesse moyenne d'un mobile entre $t_1$ et $t_2$ est la valeur moyenne de sa vitesse : $\dfrac{1}{t_2 - t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$, le déplacement divisé par la durée.

8.2 Changement de variable affine

Théorème. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, et $\alpha \neq 0$, $\beta$ deux réels. Si $\alpha t + \beta$ reste dans $I$ quand $t$ parcourt l'intervalle d'extrémités $a$ et $b$, alors $\int_a^b f(\alpha t + \beta)\,dt = \frac{1}{\alpha}\int_{\alpha a + \beta}^{\alpha b + \beta} f(u)\,du.$

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. La fonction $t \mapsto \dfrac1\alpha F(\alpha t + \beta)$ a pour dérivée $f(\alpha t + \beta)$. Donc le membre de gauche vaut $\dfrac1\alpha\big[F(\alpha b + \beta) - F(\alpha a + \beta)\big]$, qui est le membre de droite.

En pratique. On pose $u = \alpha t + \beta$. Alors $du = \alpha\,dt$, soit $dt = \dfrac{du}{\alpha}$, et on change les bornes : quand $t = a$, $u = \alpha a + \beta$ ; quand $t = b$, $u = \alpha b + \beta$.

Exemple 3. $\displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{(3t + 1)^2}$. On pose $u = 3t + 1$ : $dt = \frac{du}{3}$, et $u$ va de $1$ à $4$. $\int_0^1 \frac{dt}{(3t+1)^2} = \frac13\int_1^4 \frac{du}{u^2} = \frac13\left[-\frac1u\right]_1^4 = \frac13\left(1 - \frac14\right) = \frac14.$

Application : parité. Soit $f$ continue sur $[-a;a]$, $a > 0$. Avec $u = -t$ :

• si $f$ est impaire, $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(t)\,dt = 0$ ;
• si $f$ est paire, $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(t)\,dt = 2\int_0^a f(t)\,dt$.

Démonstration pour $f$ impaire. Par le changement de variable $u = -t$ ($\alpha = -1$, $\beta = 0$) : $\displaystyle\int_{-a}^{0} f(-t)\,dt = -\int_{a}^{0} f(u)\,du = \int_0^a f(u)\,du$. Comme $f(t) = -f(-t)$, on obtient $\displaystyle\int_{-a}^{0} f(t)\,dt = -\int_0^a f(u)\,du$, et la relation de Chasles donne $0$. Le cas pair est identique, avec $f(t) = f(-t)$.

Exemple 4. $x \mapsto x^3e^{x^2}$ est impaire, donc $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3e^{x^2}\,dx = 0$, sans aucun calcul de primitive.

Remarque (non exigible). Plus généralement, $\displaystyle\int_a^b f\big(\varphi(t)\big)\,\varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du$ : c'est la primitive de $(F \circ \varphi)' = (f \circ \varphi) \times \varphi'$ vue au chapitre 2. Le programme précise que seuls les changements de variable affines sont exigibles à l'examen.

8.3 Intégrales de produits et de puissances de fonctions trigonométriques

Les formules d'addition (Première) donnent, pour tous réels $a$ et $b$ : $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \qquad \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ $\cos a\cos b = \frac{\cos(a - b) + \cos(a + b)}{2} \qquad \sin a\sin b = \frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{2} \qquad \sin a\cos b = \frac{\sin(a + b) + \sin(a - b)}{2}$

Puissance impaire de $\sin$ ou de $\cos$. On isole un facteur, et on remplace le reste avec $\cos^2 = 1 - \sin^2$ (ou l'inverse) pour obtenir des formes $u'u^n$.

Exemple 5. $\sin^3 x = \sin x \times \sin^2 x = \sin x\,(1 - \cos^2 x) = \sin x - \sin x\cos^2 x$. Avec $u = \cos x$ : $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x\,dx = \left[-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0 - \left(-1 + \frac13\right) = \frac23.$

Puissance paire. On linéarise : on écrit la puissance comme une somme de $\cos(kx)$.

Exemple 6. $\cos^4 x = \left(\dfrac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \dfrac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} = \dfrac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$, en appliquant encore la formule de $\cos^2$ à $\cos^2(2x)$. Donc $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x\,dx = \left[\frac{3x}{8} + \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3\pi}{16}.$

Produit. On transforme le produit en somme.

Exemple 7. $\sin(3x)\cos x = \dfrac{\sin(4x) + \sin(2x)}{2}$. Donc $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(3x)\cos x\,dx = \frac12\left[-\frac{\cos(4x)}{4} - \frac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac12\left[\left(-\frac14 + \frac12\right) - \left(-\frac14 - \frac12\right)\right] = \frac12.$

Au chapitre 7, les formules d'Euler et de Moivre (nombres complexes) donneront une méthode générale de linéarisation.