Étude de la fonction logarithme népérien

2.1 Limites aux bornes

Propriété. $\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to0^+} \ln x = -\infty.$

Justification.

• En $+\infty$ : $\ln 2 > 0$, et $\ln(2^n) = n\ln 2$ devient aussi grand qu'on veut quand l'entier $n$ grandit. Comme $\ln$ est croissante, $\ln x$ dépasse n'importe quel nombre dès que $x$ est assez grand.
• En $0^+$ : pour $x > 0$, $\ln x = -\ln\dfrac1x$. Quand $x \to 0^+$, $\dfrac1x \to +\infty$, donc $\ln\dfrac1x \to +\infty$ et $\ln x \to -\infty$.

Conséquence graphique. L'axe des ordonnées (la droite $x = 0$) est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.

Outil : le changement de variable (admis). Si $X = u(x)$ tend vers $b$ quand $x$ tend vers $a$, et si $g(X)$ tend vers $\ell$ quand $X$ tend vers $b$, alors $g\big(u(x)\big)$ tend vers $\ell$ ($a$, $b$, $\ell$ réels ou infinis). C'est le théorème de la limite d'une composée du chapitre 1, sous sa forme générale. On l'utilise sous la forme « on pose $X = \dots$ ».

2.2 Le nombre $e$

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$, avec des limites $-\infty$ et $+\infty$ aux bornes. D'après le théorème de la bijection (chapitre 1), $\ln$ est une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $k$, l'équation $\ln x = k$ a une unique solution dans $]0;+\infty[$.

Définition. On note $e$ l'unique réel tel que $\ln e = 1$. On a $e \approx 2{,}718$.

Conséquences. $\ln(e^n) = n\ln e = n$ pour tout entier relatif $n$, et $\ln\sqrt e = \frac12$.

Exemple. $\ln x < 1 \iff \ln x < \ln e \iff 0 < x < e$. Et $\ln x = 2 \iff \ln x = \ln(e^2) \iff x = e^2$.

2.3 Courbe représentative

Deux tangentes à connaître.

• Au point d'abscisse $1$ : $y = \ln'(1)(x - 1) + \ln 1$, soit $y = x - 1$.
• Au point d'abscisse $e$ : $y = \frac1e(x - e) + 1$, soit $y = \dfrac{x}{e}$. Cette tangente passe par l'origine.

Propriété. Pour tout $x > 0$, $\ln x \leq x - 1$ : la courbe de $\ln$ est au-dessous de sa tangente en $1$.

Démonstration. Soit $h(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0;+\infty[$. On a $h'(x) = 1 - \frac1x = \frac{x-1}{x}$, négatif sur $]0;1]$ et positif sur $[1;+\infty[$. La fonction $h$ admet donc un minimum en $1$, égal à $h(1) = 0$. Ainsi $h(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$.

2.4 Limites usuelles

Théorème. $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0^+} x\ln x = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.$

Démonstrations.

• En $+\infty$. On applique $\ln t \leq t - 1 < t$ à $t = \sqrt x$ : $\ln\sqrt x < \sqrt x$, soit $\frac12\ln x < \sqrt x$, donc $\ln x < 2\sqrt x$ pour tout $x > 0$. Pour $x > 1$, on a donc $0 < \frac{\ln x}{x} < \frac{2\sqrt x}{x} = \frac{2}{\sqrt x}.$ Comme $\frac{2}{\sqrt x} \to 0$, le théorème des gendarmes donne $\frac{\ln x}{x} \to 0$.
• En $0^+$. On pose $X = \frac1x$, qui tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$. Alors $x\ln x = \frac1X \times(-\ln X) = -\frac{\ln X}{X} \to 0$.
• En $0$. $\dfrac{\ln(1+x)}{x} = \dfrac{\ln(1+x) - \ln 1}{x}$ est le taux d'accroissement de $\ln$ entre $1$ et $1+x$. Sa limite est le nombre dérivé $\ln'(1) = 1$.

À retenir. En $+\infty$, « $x$ l'emporte sur $\ln x$ ». Plus généralement, pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\to0^+} x^n\ln x = 0,$ car $\dfrac{\ln x}{x^n} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x^{n-1}}$ et $x^n\ln x = x^{n-1} \times x\ln x$. La leçon 5 étend ces résultats aux exposants rationnels.

Exemple 5. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x - \ln x)$.

C'est une forme $\infty - \infty$. On factorise par le terme qui l'emporte : $x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$. Comme $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$, la parenthèse tend vers $1$, et la limite vaut $+\infty$.

Exemple 6. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+2x)}{x}$.

On écrit $\dfrac{\ln(1+2x)}{x} = 2 \times \dfrac{\ln(1+2x)}{2x}$. On pose $X = 2x$, qui tend vers $0$ : $\dfrac{\ln(1+X)}{X} \to 1$. La limite vaut donc $2$.

Branche infinie. Comme $\frac{\ln x}{x} \to 0$, la courbe de $\ln$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$ (méthode du chapitre 1) : elle monte, mais de plus en plus lentement.

2.5 Dérivée de $\ln u$ et primitives de $\frac{u'}{u}$

Propriété. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $u > 0$ sur $I$, alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Si $u$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\ln|u|$ est dérivable sur $I$ et $(\ln|u|)' = \dfrac{u'}{u}$.

Justification du second point quand $u < 0$ : $\ln|u| = \ln(-u)$, de dérivée $\dfrac{-u'}{-u} = \dfrac{u'}{u}$. En particulier, $x \mapsto \ln|x|$ a pour dérivée $\frac1x$ sur $]-\infty;0[$ comme sur $]0;+\infty[$.

Primitives. Si $u$ est dérivable sur $I$, de dérivée continue, et ne s'annule pas sur $I$, les primitives de $\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto \ln|u(x)| + C, \qquad C \in \mathbb{R}.$

Exemple 7. Une primitive de $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$.

On fait apparaître $u'$ : avec $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$, et $f = \dfrac12 \times \dfrac{u'}{u}$. Comme $u > 0$, une primitive est $F(x) = \dfrac12\ln(x^2+1)$.

Exemple 8. Sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}$, avec $\cos x > 0$. Une primitive de $\tan$ est $x \mapsto -\ln(\cos x)$.

Sur $]1;+\infty[$, $\dfrac{1}{x\ln x} = \dfrac{\frac1x}{\ln x} = \dfrac{u'}{u}$ avec $u = \ln x > 0$. Une primitive est $x \mapsto \ln(\ln x)$.

2.6 Exemple d'étude

Exemple 9. Étudier $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0;+\infty[$.

Limites. En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\frac1x \to +\infty$, donc $f(x) \to -\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée). L'axe des ordonnées est asymptote verticale. En $+\infty$ : $f(x) \to 0$ (limite usuelle). L'axe des abscisses est asymptote horizontale.

Dérivée. $f'(x) = \dfrac{\frac1x \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, du signe de $1 - \ln x$ : positive sur $]0;e[$, négative sur $]e;+\infty[$.

Variations. $f$ est croissante sur $]0;e]$, décroissante sur $[e;+\infty[$, avec un maximum $f(e) = \dfrac1e \approx 0{,}37$.

Signe. $f(x)$ a le signe de $\ln x$ : la courbe coupe l'axe des abscisses au point $(1\,;0)$.