Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone

5.1 Le théorème de la bijection

Théorème (existence et continuité admises). Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors :

• $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f(I)$ : tout $y \in J$ a un unique antécédent $x \in I$ ;
• la fonction réciproque $f^{-1} : J \to I$, qui à $y$ associe cet antécédent, est continue sur $J$ ;
• $f^{-1}$ est strictement monotone, de même sens que $f$.

L'équivalence à connaître par cœur : $y = f(x) \text{ et } x \in I \iff x = f^{-1}(y) \text{ et } y \in J.$

Démonstration de la monotonie (dans le cas croissant). Soient $y_1 < y_2$ dans $J$. On pose $x_1 = f^{-1}(y_1)$ et $x_2 = f^{-1}(y_2)$. Si on avait $x_1 \geq x_2$, alors, $f$ étant croissante, $f(x_1) \geq f(x_2)$, c'est-à-dire $y_1 \geq y_2$, ce qui est faux. Donc $x_1 < x_2$ : $f^{-1}$ est strictement croissante.

5.2 Courbe de la réciproque

Propriété. Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ est la symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ (la première bissectrice).

Pourquoi ? Le point $M(x\,;\,y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y = f(x)$, ce qui équivaut à $x = f^{-1}(y)$, c'est-à-dire que le point $M'(y\,;\,x)$ est sur $\mathcal{C}_{f^{-1}}$. Or $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $\mathcal{D}$.

Méthode : construire $\mathcal{C}_{f^{-1}}$. On trace la droite $y = x$, puis on reporte quelques points remarquables et les tangentes par symétrie. Les asymptotes se transforment aussi : une asymptote horizontale $y = b$ de $\mathcal{C}_f$ devient une asymptote verticale $x = b$ de $\mathcal{C}_{f^{-1}}$.

5.3 Expression de $f^{-1}(x)$, quand c'est possible

Méthode. On part de $y = f(x)$, avec $x \in I$ et $y \in J$, et on exprime $x$ en fonction de $y$. On obtient $x = f^{-1}(y)$. On renomme enfin la variable pour écrire $f^{-1}(x)$.

Exemple 13. Soit $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$ sur $I = \,]1;+\infty[$.

Bijection. $f$ est rationnelle, donc continue sur $I$. $f'(x) = \dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $I$. De plus, $\displaystyle\lim_{x\to1^+} f(x) = +\infty$ (numérateur vers $3$, dénominateur vers $0^+$) et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2$. Donc $f$ est une bijection de $I$ sur $J = \,]2;+\infty[$.

Expression. Pour $x \in I$ et $y \in J$ : $y = \frac{2x+1}{x-1} \iff y(x-1) = 2x+1 \iff x(y-2) = y+1 \iff x = \frac{y+1}{y-2}$ (on a bien $y - 2 \neq 0$ puisque $y > 2$).

Conclusion. $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ pour tout $x \in\, ]2;+\infty[$.

Exemple 14. La fonction $x \mapsto x^2$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$. C'est une bijection de $[0;+\infty[$ sur $[0;+\infty[$, et sa réciproque est la fonction racine carrée : $y = x^2$ avec $x \geq 0$ équivaut à $x = \sqrt{y}$.

Quand l'expression est impossible. La fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ de l'exemple 12 est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Sa réciproque existe, elle est continue et strictement croissante, mais on ne sait pas l'écrire avec les fonctions usuelles. On peut quand même tracer sa courbe par symétrie.