Second ordre avec second membre

5.1 Le principe

On considère $(E)$ : $ay'' + by' + cy = g(x)$ et l'équation homogène associée $(E_0)$ : $ay'' + by' + cy = 0$.

Théorème 8. Si $y_p$ est une solution particulière de $(E)$, les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y = y_p + y_0$, où $y_0$ est une solution quelconque de $(E_0)$.

Démonstration. Comme à la leçon 2 : $a(y - y_p)'' + b(y - y_p)' + c(y - y_p) = (ay'' + by' + cy) - g$.

5.2 La méthode

1. Résoudre $(E_0)$ avec l'équation caractéristique.
2. Trouver une solution particulière $y_p$ : constante si le second membre est constant, sinon de la forme indiquée par l'énoncé.
3. Écrire la solution générale $y = y_p + y_0$.
4. Utiliser les conditions initiales sur la solution générale complète.

Attention au piège de l'étape 4. Si l'on impose les conditions initiales à $y_0$ seul, avant d'ajouter $y_p$, on obtient une fonction qui ne vérifie pas les conditions demandées.

Exemple 17 (second membre constant). Trouver la solution $f$ de $y'' + 3y' + 2y = 4$ telle que $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$.

• $(E_0)$ : $r^2 + 3r + 2 = 0$ a pour racines $-1$ et $-2$. Solutions : $\lambda e^{-x} + \mu e^{-2x}$.
• Solution constante : avec $y'' = y' = 0$, il reste $2y = 4$, donc $y_p = 2$.
• Solution générale : $y = \lambda e^{-x} + \mu e^{-2x} + 2$.
• $f(0) = \lambda + \mu + 2 = 0$ et $f'(0) = -\lambda - 2\mu = 0$, donc $\lambda = -4$ et $\mu = 2$ : $f(x) = 2 - 4e^{-x} + 2e^{-2x}.$ En $+\infty$, $f(x) \to 2$. Avec le piège, on aurait trouvé $\lambda = \mu = 0$, puis $f = 2$, qui ne vérifie pas $f(0) = 0$.

Exemple 18 (second membre trigonométrique). Trouver la solution $f$ de $y'' + 4y = 3\cos x$ telle que $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$, en cherchant une solution particulière de la forme $a\cos x + b\sin x$.

• Pour $y_p = a\cos x + b\sin x$, on a $y_p'' = -y_p$, donc $y_p'' + 4y_p = 3y_p = 3a\cos x + 3b\sin x$. Par identification, $3a = 3$ et $3b = 0$ : $y_p(x) = \cos x$.
• $(E_0)$ : $y'' + 4y = 0$, de solutions $\lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$.
• Solution générale : $y = \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x + \cos x$.
• $f(0) = \lambda + 1 = 0$ et $f'(0) = 2\mu = 0$, donc $f(x) = \cos x - \cos 2x.$