Nombres complexes et géométrie

6.1 Distances et angles

Soit $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $z_A$, $z_B$, $z_C$, avec $A \neq B$ et $A \neq C$.

Propriété. $AB = |z_B - z_A| \qquad \big(\vec u, \overrightarrow{AB}\big) = \arg(z_B - z_A)\ [2\pi]$ $\frac{AC}{AB} = \left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| \qquad \big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)\ [2\pi].$

Démonstration de la dernière égalité. Par la relation de Chasles sur les angles orientés, $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \big(\overrightarrow{AB}, \vec u\big) + \big(\vec u, \overrightarrow{AC}\big) = \arg(z_C - z_A) - \arg(z_B - z_A) = \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)\ [2\pi].$

Le module du quotient compare deux longueurs, son argument mesure un angle.

6.2 Configurations

On pose $Z = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.

Plus généralement, pour $A \neq B$ et $C \neq D$, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ est réel.

Exemple 1 (alignement). $A(1 + i)$, $B(3 + 2i)$, $C(5 + 3i)$. $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{4 + 2i}{2 + i} = 2$ : c'est un réel, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés, et $AC = 2AB$.

Exemple 2 (nature d'un triangle). $A(1)$, $B(3 + i)$, $C(2i)$. $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{-1 + 2i}{2 + i} = \frac{(-1 + 2i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-2 + i + 4i - 2i^2}{5} = \frac{5i}{5} = i.$ Donc $AC = AB$ et $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ : le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

Exemple 3 (triangle équilatéral). $O(0)$, $B(2)$, $C\left(1 + i\sqrt3\right)$ : $\dfrac{z_C - 0}{z_B - 0} = \dfrac{1 + i\sqrt3}{2} = e^{i\frac{\pi}{3}}$, donc $OBC$ est équilatéral.

6.3 Ensembles de points

Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $r > 0$.

• L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - z_A| = r$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$ (car $AM = r$).
• L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - z_A| = |z - z_B|$ est la médiatrice de $[AB]$ (car $AM = BM$).
• L'ensemble des points $M(z)$ tels que $\arg(z - z_A) = \theta\ [2\pi]$ est la demi-droite d'origine $A$, privée de $A$, qui fait l'angle $\theta$ avec $\vec u$.

Exemple 4. $|z - 1 + i| = 2$ s'écrit $|z - (1 - i)| = 2$ : c'est le cercle de centre $\Omega(1 - i)$ et de rayon $2$. Attention au signe : on fait apparaître $z - z_\Omega$.

Exemple 5. $|z - 2| = |z + 2i|$ s'écrit $|z - 2| = |z - (-2i)|$ : c'est la médiatrice de $[AB]$ avec $A(2)$ et $B(-2i)$. Avec $z = x + iy$, on trouve $(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2$, soit $y = -x$.