Branches infinies et asymptotes

Une branche infinie est la partie de la courbe qui part vers l'infini, quand $x$ ou $f(x)$ devient très grand en valeur absolue. Étudier une branche infinie, c'est dire à quoi elle ressemble de loin.

2.1 Asymptotes parallèles aux axes (rappels)

• Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ (à gauche ou à droite de $a$), la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
• Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = b$ (réel), la droite d'équation $y = b$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.

2.2 Asymptote oblique

Définition. La droite $\Delta$ d'équation $y = ax + b$, avec $a \neq 0$, est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ si $\lim_{x\to+\infty} \big[f(x) - (ax+b)\big] = 0.$ La définition est la même en $-\infty$. Géométriquement, l'écart vertical entre la courbe et la droite tend vers $0$.

Position relative. On étudie le signe de $f(x) - (ax+b)$ :

• s'il est positif, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ ;
• s'il est négatif, $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\Delta$.

Exemple 6. Soit $f(x) = \dfrac{x^2+x-1}{x-1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Écriture utile. Par division euclidienne, $x^2+x-1 = (x-1)(x+2)+1$, donc $f(x) = x + 2 + \frac{1}{x-1}.$ Asymptote verticale. Quand $x \to 1$, le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $0$ : $\displaystyle\lim_{x\to1^+} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^-} f(x) = -\infty$. La droite $x = 1$ est asymptote verticale.

Asymptote oblique. $f(x) - (x+2) = \dfrac{1}{x-1}$ tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$. La droite $\Delta : y = x+2$ est asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$.

Position. $\dfrac{1}{x-1} > 0$ pour $x > 1$ : la courbe est au-dessus de $\Delta$. Pour $x < 1$, c'est l'inverse : la courbe est au-dessous.

2.3 Méthode générale pour une branche infinie

On suppose $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \pm\infty$. La méthode est la même en $-\infty$.

Étape 1. On calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$.

Étape 2. On calcule $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \big[f(x) - ax\big]$.

Exemple 7. Pour $f(x) = \sqrt{x}$ en $+\infty$ : $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$. Branche parabolique de direction $(Ox)$ : la courbe monte, mais de moins en moins vite.

Exemple 8. Pour $f(x) = x + \sqrt{x}$ en $+\infty$ : $\dfrac{f(x)}{x} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt x} \to 1$, puis $f(x) - x = \sqrt{x} \to +\infty$. Branche parabolique de direction la droite $y = x$.

Exemple 9. Soit $f(x) = \sqrt{x^2+2x}$, définie pour $x \leq -2$ ou $x \geq 0$.

En $+\infty$. Pour $x > 0$, $\sqrt{x^2+2x} = x\sqrt{1+\frac2x}$, donc $\dfrac{f(x)}{x} = \sqrt{1+\frac2x} \to 1$. Puis, avec l'expression conjuguée : $f(x) - x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1} \to 1.$ La droite $y = x+1$ est asymptote oblique en $+\infty$.

En $-\infty$. Attention : pour $x < 0$, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, donc $\sqrt{x^2+2x} = -x\sqrt{1+\frac2x}$. Alors $\dfrac{f(x)}{x} = -\sqrt{1+\frac2x} \to -1$. Puis : $f(x) + x = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x} = \frac{2x}{-x\left(\sqrt{1+\frac2x}+1\right)} = \frac{-2}{\sqrt{1+\frac2x}+1} \to -1.$ La droite $y = -x-1$ est asymptote oblique en $-\infty$.

Piège classique. En $-\infty$, on écrit $\sqrt{x^2} = -x$ et non $x$. Beaucoup d'erreurs au bac viennent de là.