Espace probabilisé et probabilité produit

9.1 Un peu d'histoire

Le calcul des probabilités est né des jeux de hasard. En 1654, Blaise Pascal et Pierre de Fermat échangent des lettres sur des problèmes posés par un joueur, le chevalier de Méré : comment partager équitablement les mises d'une partie interrompue ? Est-il avantageux de parier sur « au moins un double six en $24$ lancers de deux dés » ? Christiaan Huygens publie peu après le premier traité sur le sujet. Jacques Bernoulli étudie la stabilisation des fréquences (son livre paraît en 1713), puis Pierre-Simon de Laplace fait des probabilités une vraie théorie (1812). En 1933, Andreï Kolmogorov donne la définition axiomatique utilisée aujourd'hui. Les probabilités sont désormais partout : médecine, assurance, économie, météorologie, télécommunications, contrôle de qualité.

9.2 Définition axiomatique

L'ensemble de toutes les parties de $\Omega$ (les événements) se note $\mathcal{P}(\Omega)$.

Définition. Une probabilité sur $\Omega$ est une application $P$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ dans $[0\,;1]$ telle que :

1. $P(\Omega) = 1$ et $P(\varnothing) = 0$ ;
2. si $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ sont des événements deux à deux disjoints, alors $P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n).$

Le triplet $\big(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P\big)$ est appelé un espace probabilisé fini.

Conséquences, démontrées à partir des axiomes.

• Événements élémentaires. Un événement $A = \{\omega_1\,;\dots\,;\omega_k\}$ est la réunion disjointe des $\{\omega_j\}$, donc $P(A) = \sum P(\{\omega_j\})$ : une probabilité est entièrement déterminée par les probabilités des événements élémentaires, dont la somme vaut $P(\Omega) = 1$. On retrouve la définition de la leçon 1.
• Contraire. $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints et $A \cup \overline{A} = \Omega$ : $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
• Inclusion. Si $A \subset B$, alors $B$ est la réunion disjointe de $A$ et de $B \cap \overline{A}$, donc $P(B) = P(A) + P(B \cap \overline{A}) \geq P(A)$.
• Réunion. $A \cup B$ est la réunion disjointe de $A$ et de $B \cap \overline{A}$, et $B$ celle de $A \cap B$ et de $B \cap \overline{A}$. Donc $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Exemple 1. Sur $\Omega = \{a\,;b\,;c\}$, on veut $P(\{a\}) = 0{,}5$ et $P(\{a\,;b\}) = 0{,}7$. Les axiomes imposent $P(\{b\}) = 0{,}7 - 0{,}5 = 0{,}2$ et $P(\{c\}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ : il existe une seule probabilité qui convient.

Probabilité conditionnelle. Si $P(B) \neq 0$, l'application $A \mapsto P(A/B)$ vérifie les axiomes : $P(\Omega/B) = \dfrac{P(B)}{P(B)} = 1$, $P(\varnothing/B) = 0$, et pour $A_1$, …, $A_n$ deux à deux disjoints, les $A_i \cap B$ le sont aussi, ce qui donne l'additivité. C'est donc une probabilité sur $\Omega$ ; toutes les conséquences ci-dessus s'appliquent à elle.

9.3 Probabilité produit

On réalise deux expériences aléatoires indépendantes : la première a pour univers $\Omega_1$, muni d'une probabilité $P_1$, la seconde a pour univers $\Omega_2$, muni d'une probabilité $P_2$. Le résultat global est un couple $(a\,;b)$ de l'univers produit $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$.

Définition. La probabilité produit sur $\Omega_1 \times \Omega_2$ est la probabilité $P$ définie sur les événements élémentaires par $P\big(\{(a\,;b)\}\big) = P_1(\{a\}) \times P_2(\{b\}).$

C'est bien une probabilité. Les nombres $P_1(\{a\})\,P_2(\{b\})$ sont dans $[0\,;1]$, et leur somme sur tous les couples vaut $\sum_{a \in \Omega_1}\sum_{b \in \Omega_2} P_1(\{a\})\,P_2(\{b\}) = \Big(\sum_{a} P_1(\{a\})\Big)\Big(\sum_{b} P_2(\{b\})\Big) = 1 \times 1 = 1.$

Propriété. Pour $A_1 \subset \Omega_1$ et $A_2 \subset \Omega_2$ : $P(A_1 \times A_2) = P_1(A_1) \times P_2(A_2)$. En particulier, l'événement « $A_1$ à la première expérience » ($A_1 \times \Omega_2$) et l'événement « $A_2$ à la seconde » ($\Omega_1 \times A_2$) sont indépendants.

Démonstration. On factorise la double somme comme ci-dessus : $P(A_1 \times A_2) = \sum_{a \in A_1}\sum_{b \in A_2} P_1(\{a\})P_2(\{b\}) = P_1(A_1)\,P_2(A_2)$. Avec $A_2 = \Omega_2$ puis $A_1 = \Omega_1$, on obtient $P(A_1 \times \Omega_2) = P_1(A_1)$ et $P(\Omega_1 \times A_2) = P_2(A_2)$ ; or l'intersection de ces deux événements est $A_1 \times A_2$.

Exemple 2. On lance un dé équilibré, puis une pièce truquée qui tombe sur pile avec la probabilité $\frac23$. L'univers produit compte $6 \times 2 = 12$ couples, qui ne sont pas équiprobables : $P\big(\{(6\,;\text{pile})\}\big) = \dfrac16 \times \dfrac23 = \dfrac19$, alors que $P\big(\{(6\,;\text{face})\}\big) = \dfrac16 \times \dfrac13 = \dfrac{1}{18}$. Et $P(\text{« pair, puis face »}) = \dfrac12 \times \dfrac13 = \dfrac16$.

Généralisation. Pour $n$ expériences indépendantes, on définit de même la probabilité produit sur $\Omega_1 \times \dots \times \Omega_n$. Le schéma de Bernoulli (leçon 7) en est l'exemple principal : sur $\{S\,;\overline{S}\}^n$, une suite comportant $k$ succès a pour probabilité $p^k q^{n-k}$. C'est ce qui justifie la règle « on multiplie les branches » utilisée pour les épreuves successives indépendantes (leçon 4).