Équiprobabilité et dénombrement

2.1 Équiprobabilité

Définition. Si toutes les éventualités ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité. Avec $\mathrm{card}\,\Omega = n$, chaque éventualité a alors la probabilité $\dfrac1n$, et pour tout événement $A$ : $P(A) = \frac{\mathrm{card}\,A}{\mathrm{card}\,\Omega} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.$

L'équiprobabilité est une hypothèse de modélisation, que l'énoncé signale par des expressions comme « dé équilibré », « pièce bien équilibrée », « boules indiscernables au toucher », « on choisit au hasard ».

Exemple 1 (deux dés). On lance deux dés équilibrés, un rouge et un vert. Une éventualité est un couple $(r\,;v)$ : $\mathrm{card}\,\Omega = 6 \times 6 = 36$, et les $36$ couples sont équiprobables.

• « La somme vaut $7$ » : $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$, $(6;1)$, soit $6$ cas : $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$.
• « Obtenir au moins un $6$ » : son contraire, « aucun $6$ », compte $5 \times 5 = 25$ couples. Donc $P = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$.

2.2 Rappels de dénombrement (Première)

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier naturel.

On lit $C_n^p$ « C, n, p » et $n!$ « factorielle $n$ », avec $0! = 1$. On rencontre aussi la notation $\binom{n}{p}$ pour $C_n^p$.

Propriétés. $C_n^0 = C_n^n = 1$ ; $C_n^1 = n$ ; $C_n^p = C_n^{n-p}$ ; $C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^{p}$ (triangle de Pascal).

2.3 Modéliser un tirage

Le type de tirage décide de l'univers. Dans les trois cas, il y a équiprobabilité.

Exemple 2. Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire $3$ boules.

a. Tirage simultané. $\mathrm{card}\,\Omega = C_8^3 = 56$.

• « Exactement $2$ rouges » : on choisit $2$ rouges parmi $5$ et $1$ verte parmi $3$ : $C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30$ cas, donc $P = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28}$.
• « Au moins une verte » : contraire de « $3$ rouges », qui compte $C_5^3 = 10$ cas. $P = 1 - \dfrac{10}{56} = \dfrac{23}{28}$.

b. Tirage successif sans remise. $\mathrm{card}\,\Omega = A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

• « Rouge, rouge, verte, dans cet ordre » : $5 \times 4 \times 3 = 60$ cas, $P = \dfrac{60}{336} = \dfrac{5}{28}$.
• « Exactement $2$ rouges » : la verte peut être en position $1$, $2$ ou $3$, soit $3 \times 60 = 180$ cas, $P = \dfrac{180}{336} = \dfrac{15}{28}$. On retrouve le résultat du tirage simultané : pour un événement qui ne dépend pas de l'ordre, les deux modèles donnent la même probabilité.

c. Tirage successif avec remise. $\mathrm{card}\,\Omega = 8^3 = 512$.

• « Exactement $2$ rouges » : $3$ positions possibles pour la verte, puis $5 \times 5 \times 3$ choix : $3 \times 75 = 225$ cas, $P = \dfrac{225}{512}$.

2.4 « Au moins un » : passer par le contraire

Méthode. Pour « au moins un… », on calcule presque toujours la probabilité du contraire, « aucun… », puis $P(A) = 1 - P(\overline{A})$. C'est ce qui a été fait dans les exemples 1 et 2.