Devoir sur 20 : Probabilités

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4 (il ne porte que sur le socle commun). Calculatrice autorisée. Les données sont inventées (situations simplifiées). Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (10 points)

Une coopérative agricole reçoit des sacs d'arachide de deux villages : $60\,\%$ des sacs viennent du village $A$ , les autres du village $B$ . Parmi les sacs du village $A$ , $5\,\%$ sont non conformes (arachide trop humide) ; parmi ceux du village $B$ , $10\,\%$ sont non conformes. On choisit un sac au hasard dans le stock. On note $A$ « le sac vient du village $A$ », $B$ « le sac vient du village $B$ » et $N$ « le sac est non conforme ».

Construire un arbre pondéré qui représente la situation. (1 point)
Calculer la probabilité que le sac vienne du village $A$ et soit non conforme. (1 point)
Montrer que $P(N) = 0{,}07$ . (2 points)
Le sac choisi est non conforme. Calculer la probabilité qu'il vienne du village $A$ (valeur exacte, puis valeur approchée au centième). (2 points)
Les événements $A$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier. (1 point)
On prélève au hasard $10$ sacs dans le stock, qui est assez grand pour assimiler ce prélèvement à $10$ tirages indépendants. On note $X$ le nombre de sacs non conformes parmi eux.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, préciser ses paramètres et calculer $E(X)$ . (1 point)
b. Calculer la probabilité qu'aucun sac ne soit non conforme (valeur approchée au millième). (1 point)
c. Calculer la probabilité qu'au moins deux sacs soient non conformes (valeur approchée au millième). (1 point)

Exercice 2 (10 points)

Une urne contient $4$ boules rouges et $2$ boules noires, indiscernables au toucher. Un joueur tire simultanément $2$ boules. Il gagne $200$ F (francs CFA) pour chaque boule rouge tirée et perd $300$ F pour chaque boule noire tirée. On note $X$ son gain algébrique, en francs.

Combien y a-t-il de tirages possibles ? (1 point)
Montrer que $X$ prend les valeurs $-600$ , $-100$ et $400$ , puis déterminer la loi de probabilité de $X$ . (3 points)
Déterminer la fonction de répartition $F$ de $X$ et la représenter graphiquement. (2 points)
Calculer l'espérance de $X$ . Le jeu est-il favorable au joueur ? (2 points)
Calculer la variance de $X$ , puis son écart-type (valeur approchée à l'unité). (1 point)
On garde le gain de $200$ F par boule rouge. Quelle perte par boule noire faudrait-il fixer pour que le jeu soit équitable ? (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) Première étape : $A$ ( $0{,}6$ ), $B$ ( $0{,}4$ ). Puis, après $A$ : $N$ ( $0{,}05$ ), $\overline{N}$ ( $0{,}95$ ) ; après $B$ : $N$ ( $0{,}1$ ), $\overline{N}$ ( $0{,}9$ ).

2. (1 pt) $P(A \cap N) = P(A) \times P(N/A) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$ .

3. (2 pts)

(1 pt) $A$ et $B$ forment une partition : formule des probabilités totales.
(1 pt) $P(N) = 0{,}6 \times 0{,}05 + 0{,}4 \times 0{,}1 = 0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}07$ .

4. (2 pts) (1 pt) $P(A/N) = \dfrac{P(A \cap N)}{P(N)}$ ; (1 pt) $= \dfrac{0{,}03}{0{,}07} = \dfrac37 \approx 0{,}43$ .

5. (1 pt) $P(A) \times P(N) = 0{,}6 \times 0{,}07 = 0{,}042 \neq 0{,}03 = P(A \cap N)$ : $A$ et $N$ ne sont pas indépendants. On peut aussi comparer $P(N/A) = 0{,}05$ et $P(N) = 0{,}07$ .

6. (3 pts)

a. (1 pt) Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli (succès : « non conforme », $p = 0{,}07$ ), répétée $10$ fois de façon identique et indépendante : $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;0{,}07)$ , et $E(X) = 10 \times 0{,}07 = 0{,}7$ .
b. (1 pt) $P(X = 0) = 0{,}93^{10} \approx 0{,}484$ .
c. (1 pt) $P(X = 1) = C_{10}^1 \times 0{,}07 \times 0{,}93^9 \approx 0{,}364$ , donc $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 0{,}152$ .

Exercice 2

1. (1 pt) Tirage simultané de $2$ boules parmi $6$ : $C_6^2 = 15$ tirages, équiprobables.

2. (3 pts)

(1 pt) Deux rouges : $2 \times 200 = 400$ ; une rouge et une noire : $200 - 300 = -100$ ; deux noires : $-2 \times 300 = -600$ .
(2 pts) $P(X = 400) = \dfrac{C_4^2}{15} = \dfrac{6}{15}$ ; $P(X = -100) = \dfrac{C_4^1 \times C_2^1}{15} = \dfrac{8}{15}$ ; $P(X = -600) = \dfrac{C_2^2}{15} = \dfrac{1}{15}$ .

$x_i$	$-600$	$-100$	$400$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{8}{15}$	$\dfrac{6}{15} = \dfrac25$

Vérification : $\dfrac{1 + 8 + 6}{15} = 1$ .

3. (2 pts) (1 pt) $F(x) = 0$ si $x < -600$ ; $F(x) = \dfrac{1}{15}$ si $-600 \leq x < -100$ ; $F(x) = \dfrac{9}{15} = \dfrac35$ si $-100 \leq x < 400$ ; $F(x) = 1$ si $x \geq 400$ . (1 pt) Courbe en escalier, avec un point plein à gauche et un point creux à droite de chaque palier.

4. (2 pts) (1 pt) $E(X) = \dfrac{-600 \times 1 - 100 \times 8 + 400 \times 6}{15} = \dfrac{1\,000}{15} = \dfrac{200}{3} \approx 66{,}7$ F. (1 pt) $E(X) > 0$ : le jeu est favorable au joueur, qui gagne en moyenne environ $66{,}7$ F par partie.

5. (1 pt) $E(X^2) = \dfrac{360\,000 + 8 \times 10\,000 + 6 \times 160\,000}{15} = \dfrac{1\,400\,000}{15}$ , donc $V(X) = \dfrac{1\,400\,000}{15} - \left(\dfrac{200}{3}\right)^2 = \dfrac{800\,000}{9} \approx 88\,889$ et $\sigma(X) = \dfrac{400\sqrt5}{3} \approx 298$ F.

6. (1 pt) Avec une perte de $y$ F par boule noire, les gains sont $400$ , $200 - y$ et $-2y$ : $E(X) = \dfrac{6 \times 400 + 8(200 - y) - 2y}{15} = \dfrac{4\,000 - 10y}{15}$ . Le jeu est équitable si $E(X) = 0$ , soit $y = 400$ F.

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1 à 4	O5 et O6 Probabilité conditionnelle, arbre pondéré, probabilités totales
Ex. 1, 5	O7 Montrer que deux événements sont (ou ne sont pas) indépendants
Ex. 1, 6	O11 Reconnaître et utiliser une loi binomiale
Ex. 2, 1 et 2	O3 et O8 Dénombrer, déterminer la loi d'une variable aléatoire
Ex. 2, 3	O9 Fonction de répartition
Ex. 2, 4 à 6	O10 Espérance, variance, écart-type ; jeu équitable