Continuité

3.1 Rappels

Définition. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a).$ $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Graphiquement, on trace la courbe « sans lever le crayon ».

Fonctions continues usuelles (admis).

• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
• $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0;+\infty[$.
• $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$, de même que $x \mapsto |x|$.

Opérations. La somme, le produit et le quotient (dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.

Contre-exemple. La fonction partie entière $E$ (vue en Seconde) n'est continue en aucun entier. Par exemple, en $1$ : $E(x) = 0$ pour $x \in [0;1[$ et $E(1) = 1$, donc la limite à gauche, $0$, est différente de $E(1)$. La courbe « saute ».

3.2 Prolongement par continuité

Définition. Soit $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$. Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell$ avec $\ell$ réel, la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x) = f(x) \text{ si } x \neq a, \qquad g(a) = \ell$ est continue en $a$. On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$.

Si la limite en $a$ n'existe pas ou est infinie, $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $a$.

Exemple 10. Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ sur $[-1;0[\,\cup\,]0;+\infty[$. Est-elle prolongeable par continuité en $0$ ?

Forme $\frac00$. Avec l'expression conjuguée, pour $x \neq 0$ : $f(x) = \frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac12.$ La limite est réelle : $f$ est prolongeable par continuité en $0$, en posant $f(0) = \frac12$.

3.3 Continuité d'une composée

Théorème (admis). Si $f$ est continue en $a$ et si $g$ est continue en $f(a)$, alors $g \circ f$ est continue en $a$. Par conséquent, la composée de deux fonctions continues (là où elle est définie) est continue.

Méthode : démontrer qu'une fonction est continue. On la décompose en fonctions usuelles continues reliées par des opérations ou des compositions.

Exemple. $h : x \mapsto \sqrt{x^2+1}$ est la composée de $u : x \mapsto x^2+1$, continue sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $[1;+\infty[$, suivie de la racine carrée, continue sur $[0;+\infty[$. Donc $h$ est continue sur $\mathbb{R}$.

3.4 Limite d'une fonction composée

Théorème (admis). Soient $a$ et $b$ deux réels. Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = b$ et si $g$ est continue en $b$, alors $\lim_{x\to a} g\big(f(x)\big) = g(b).$

Remarque. Ce résultat reste vrai lorsque $a$ vaut $+\infty$ ou $-\infty$. C'est ainsi qu'on l'utilise dans les exercices.

Exemple 11. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{4x+1}{x+3}}$.

On pose $f(x) = \dfrac{4x+1}{x+3}$ et $g(y) = \sqrt{y}$. En $+\infty$, $f(x)$ a la même limite que $\dfrac{4x}{x}$, soit $4$. La fonction $g$ est continue en $4$. Donc $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{4x+1}{x+3}} = \sqrt{4} = 2.$

À retenir. Pour calculer la limite de $g(f(x))$, on cherche d'abord la limite $b$ de « l'intérieur » $f(x)$, puis on regarde ce que fait $g$ près de $b$.