Second ordre, l'équation caractéristique

3.1 L'équation et l'idée

On étudie l'équation homogène du second ordre $(E_0) : \quad ay'' + by' + cy = 0, \qquad a, b, c \text{ réels}, \ a \neq 0.$ Une solution est une fonction $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $af'' + bf' + cf = 0$.

Linéarité. Si $f$ et $g$ sont solutions de $(E_0)$, alors $\lambda f + \mu g$ est solution pour tous réels $\lambda$ et $\mu$ : il suffit de développer $a(\lambda f + \mu g)'' + b(\lambda f + \mu g)' + c(\lambda f + \mu g)$.

On cherche des solutions exponentielles. Pour $f(x) = e^{rx}$, on a $f'(x) = re^{rx}$ et $f''(x) = r^2 e^{rx}$, donc $af''(x) + bf'(x) + cf(x) = \left(ar^2 + br + c\right)e^{rx}.$ Comme $e^{rx} \neq 0$ : $x \longmapsto e^{rx}$ est solution si et seulement si $ar^2 + br + c = 0$.

Définition. L'équation $ar^2 + br + c = 0$, d'inconnue $r$, est l'équation caractéristique de $(E_0)$. On la lit directement sur l'équation : $y''$ devient $r^2$, $y'$ devient $r$, $y$ devient $1$.

3.2 Le théorème

Théorème 4 (admis). Soit $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant de l'équation caractéristique.

Le programme admet que toutes les solutions sont de cette forme. On peut en revanche vérifier que les fonctions annoncées sont bien solutions.

Vérification pour $\Delta = 0$. Avec $f(x) = xe^{r_0 x}$ : $f'(x) = (1 + r_0 x)e^{r_0 x}$ et $f''(x) = (2r_0 + r_0^2 x)e^{r_0 x}$, d'où $af'' + bf' + cf = \big[x\left(ar_0^2 + br_0 + c\right) + (2ar_0 + b)\big]e^{r_0 x} = 0,$ car $r_0$ est racine et $2ar_0 + b = 0$.

Exemple 9 ($\Delta > 0$). Résoudre $y'' - 3y' + 2y = 0$.

Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$, de racines $1$ et $2$. Solutions : $y = \lambda e^{x} + \mu e^{2x}$.

Exemple 10 ($\Delta = 0$). Résoudre $y'' - 4y' + 4y = 0$.

$r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2$ : racine double $2$. Solutions : $y = (\lambda x + \mu)\,e^{2x}$.

Exemple 11. Résoudre $y'' = 4y$.

L'équation s'écrit $y'' - 4y = 0$ ; équation caractéristique $r^2 - 4 = 0$, de racines $2$ et $-2$. Solutions : $y = \lambda e^{2x} + \mu e^{-2x}$. Plus généralement, pour $\omega > 0$, les solutions de $y'' - \omega^2 y = 0$ sont les fonctions $\lambda e^{\omega x} + \mu e^{-\omega x}$.

3.3 Conditions initiales

Théorème 5 (admis). Soit $x_0$, $y_0$, $y_1$ trois réels. L'équation $(E_0)$ admet une solution et une seule $f$ telle que $f(x_0) = y_0$ et $f'(x_0) = y_1$.

Il faut deux conditions, une sur $f$ et une sur $f'$, car la solution générale contient deux constantes $\lambda$ et $\mu$.

Exemple 12. Trouver la solution $f$ de $y'' - 3y' + 2y = 0$ telle que $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$.

$f(x) = \lambda e^{x} + \mu e^{2x}$ et $f'(x) = \lambda e^{x} + 2\mu e^{2x}$. Les conditions donnent le système $\lambda + \mu = 1, \qquad \lambda + 2\mu = 0,$ d'où $\mu = -1$ et $\lambda = 2$ : $f(x) = 2e^{x} - e^{2x}$.

Exemple 13. Trouver la solution $f$ de $y'' + 2y' + y = 0$ telle que $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$.

Racine double $-1$, donc $f(x) = (\lambda x + \mu)\,e^{-x}$ et $f'(x) = (\lambda - \lambda x - \mu)\,e^{-x}$. $f(0) = \mu = 2$ et $f'(0) = \lambda - \mu = -1$, donc $\lambda = 1$ : $f(x) = (x + 2)\,e^{-x}$. Cette fonction décroît vers $0$ sans osciller, puisque $f'(x) = -(x + 1)e^{-x} < 0$ pour $x > -1$.