Sens de variation d'une suite

2.1 Définitions

Définitions. On dit que la suite $(u_n)$ est :

• croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ ;
• décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ ;
• constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante.

On dit qu'une suite est croissante à partir du rang $p$ si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n \geq p$ (de même pour les autres définitions).

Une suite peut n'être ni croissante ni décroissante : la suite $\big((-1)^n\big)$ vaut $1, -1, 1, -1, \ldots$

2.2 Méthode 1 : le signe de $u_{n+1} - u_n$

On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ et on étudie son signe. Si elle est positive pour tout $n$, la suite est croissante ; si elle est négative, la suite est décroissante.

Exemple 8. Soit $u_n = \dfrac{1}{n + 1}$. Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1} = \frac{(n + 1) - (n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{-1}{(n + 1)(n + 2)} < 0.$ La suite est strictement décroissante.

Exemple 9 (une suite définie par récurrence). Pour la suite $(v_n)$ de l'exemple 3, $v_{n+1} - v_n = 2n + 1 > 0$ pour tout $n$ : la suite est strictement croissante.

Exemple 10 (à partir d'un rang). Pour $u_n = n^2 - 3n$ (exemple 1), $u_{n+1} - u_n = (n^2 - n - 2) - (n^2 - 3n) = 2n - 2$. Cette différence est négative pour $n = 0$, nulle pour $n = 1$, strictement positive pour $n \geq 2$. La suite est croissante à partir du rang $1$, et strictement croissante à partir du rang $2$. Elle n'est pas croissante dès le rang $0$, car $u_1 = -2 < u_0 = 0$.

2.3 Méthode 2 : comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ (termes strictement positifs)

Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ : s'il est supérieur à $1$ pour tout $n$, alors $u_{n+1} > u_n$ et la suite est strictement croissante ; s'il est inférieur à $1$, elle est strictement décroissante. Cette méthode est commode quand $u_n$ contient une puissance $q^n$.

Exemple 11. Soit $u_n = \dfrac{n + 1}{3^n}$. Les termes sont strictement positifs et $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n + 2}{3^{n+1}} \times \frac{3^n}{n + 1} = \frac{n + 2}{3(n + 1)}.$ Or $n + 2 < 3n + 3$, puisque $2n + 1 > 0$. Le quotient est donc strictement inférieur à $1$ : la suite est strictement décroissante.

2.4 Méthode 3 : utiliser la fonction associée (suites $u_n = f(n)$)

Propriété. Si $u_n = f(n)$ pour tout $n$, et si $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur $[0\,;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante).

Justification. Pour tout $n$, $n < n + 1$, donc $f(n) < f(n + 1)$ si $f$ est strictement croissante.

Exemple 12. Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$. On a $u_n = f(n)$ avec $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 3}$, dérivable sur $[0\,;+\infty[$, et (chapitre 3) $f'(x) = \frac{2(x + 3) - (2x + 1)}{(x + 3)^2} = \frac{5}{(x + 3)^2} > 0.$ La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Vérification par la méthode 1 : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{(n + 3)(n + 4)} > 0$.

Attention. Cette méthode ne vaut que pour les suites définies par une formule explicite $u_n = f(n)$.