Fonctions associées par translation

4.1 Les trois translations

Propriété. Soit $a$ et $b$ deux réels, et $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$.

1. La courbe de $x \mapsto f(x) + b$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $b\,\vec j$ : on monte de $b$ (on descend si $b < 0$).
2. La courbe de $x \mapsto f(x - a)$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $a\,\vec i$ : on va vers la droite de $a$ (vers la gauche si $a < 0$).
3. La courbe de $x \mapsto f(x - a) + b$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $\vec u = a\,\vec i + b\,\vec j$, de coordonnées $(a\,;b)$.

Démonstration (cas 3, qui contient les deux autres). Soit $g(x) = f(x - a) + b$. Un point $M(x\,;y)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y = f(x)$, c'est-à-dire $y + b = f\big((x + a) - a\big) + b = g(x + a)$, c'est-à-dire si et seulement si $M'(x + a\,;y + b)$ est sur $\mathcal{C}_g$. Or $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec u(a\,;b)$.

Attention au signe. Dans $f(x - 2)$, on décale de $2$ vers la droite ; dans $f(x + 2) = f\big(x - (-2)\big)$, on décale de $2$ vers la gauche.

Ensemble de définition. $x \mapsto f(x - a)$ est définie pour les $x$ tels que $x - a \in D_f$ : l'ensemble de définition est lui aussi décalé de $a$.

Exemple 15. Soit $g(x) = \sqrt{x - 2} + 1$. On a $g(x) = f(x - 2) + 1$ avec $f(x) = \sqrt x$. La courbe de $g$ est l'image de celle de la racine carrée par la translation de vecteur $\vec u(2\,;1)$ : elle part du point $(2\,;1)$, image de $O$, et $D_g = [2\,;+\infty[$.

4.2 Application aux fonctions polynômes du second degré

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. On sait l'écrire sous forme canonique (Seconde) : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad \text{avec } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).$

Conséquence. La courbe de $f$ est l'image de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y = ax^2$ par la translation de vecteur $\vec u(\alpha\,;\beta)$. C'est une parabole de sommet $S(\alpha\,;\beta)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$ (image de l'axe des ordonnées, axe de $\mathcal{P}$).

Exemple 16. $f(x) = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$. La courbe est l'image de la parabole $y = x^2$ par la translation de vecteur $\vec u(2\,;-3)$. Son sommet est $S(2\,;-3)$ et son axe est la droite $x = 2$ : on retrouve l'exemple 11.

Exemple 17. $g(x) = -2x^2 + 4x + 1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\big[(x-1)^2 - 1\big] + 1 = -2(x-1)^2 + 3$. La courbe est l'image de la parabole $y = -2x^2$ par la translation de vecteur $\vec u(1\,;3)$. Elle est tournée vers le bas, de sommet $S(1\,;3)$.

4.3 Application aux fonctions homographiques

Une fonction homographique s'écrit $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, avec $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$ (sinon $f$ est constante là où elle est définie). Elle est définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.

Propriété. On peut toujours écrire $f(x) = \beta + \frac{k}{x - \alpha}, \qquad \text{avec } \alpha = -\frac{d}{c},\ \beta = \frac{a}{c},\ k = \frac{bc - ad}{c^2}.$ La courbe de $f$ est l'image de l'hyperbole $\mathcal{H}$ d'équation $y = \dfrac{k}{x}$ par la translation de vecteur $\vec u(\alpha\,;\beta)$. C'est une hyperbole de centre de symétrie $\Omega(\alpha\,;\beta)$, image de $O$. Ses asymptotes sont les droites d'équations $x = \alpha$ et $y = \beta$ (images des axes, vues en Seconde de façon intuitive).

En pratique, on ne retient pas les formules : on transforme l'écriture, comme dans les exemples.

Exemple 18. $g(x) = \dfrac{2x - 1}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1) + 1}{x - 1} = 2 + \dfrac{1}{x - 1}$.

La courbe de $g$ est l'image de l'hyperbole $y = \dfrac1x$ par la translation de vecteur $\vec u(1\,;2)$. Son centre de symétrie est $\Omega(1\,;2)$ (on retrouve l'exemple 13), et ses asymptotes sont les droites $x = 1$ et $y = 2$.

Exemple 19. $h(x) = \dfrac{-x + 3}{x + 1} = \dfrac{-(x + 1) + 4}{x + 1} = -1 + \dfrac{4}{x + 1}$.

La courbe de $h$ est l'image de l'hyperbole $y = \dfrac4x$ par la translation de vecteur $\vec u(-1\,;-1)$. Centre $\Omega(-1\,;-1)$, asymptotes $x = -1$ et $y = -1$.