Fonctions trigonométriques

Les angles sont en radians. Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ (chapitre 3), donc continues.

6.1 Cosinus et sinus

Elles sont définies sur $\mathbb{R}$ et périodiques de période $2\pi$ ; cosinus est paire, sinus est impaire (chapitre 1). On les étudie donc sur $[0\,;\pi]$, on complète sur $[-\pi\,;\pi]$ par symétrie, puis sur $\mathbb{R}$ par des translations de vecteurs $2k\pi\,\vec i$ ($k$ entier).

Exemple 11.

• Cosinus. $\cos'(x) = -\sin x$. Sur $\left]0\,;\pi\right[$, $\sin x > 0$, donc $\cos' < 0$ : cosinus est strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$, de $\cos 0 = 1$ à $\cos \pi = -1$, en passant par $\cos\dfrac\pi2 = 0$.
• Sinus. $\sin'(x) = \cos x$, positif sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right[$ et négatif sur $\left]\dfrac\pi2\,;\pi\right]$ : sinus croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$, puis décroît de $1$ à $0$ sur $\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$.

$x$	$0$		$\dfrac\pi2$		$\pi$
signe de $\cos'(x) = -\sin x$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$
variations de $\cos$	$1$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$
signe de $\sin'(x) = \cos x$		$+$	$0$	$-$
variations de $\sin$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$

On trace la courbe sur $[0\,;\pi]$, puis son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (cosinus) ou par rapport à l'origine (sinus), puis on la recopie tous les $2\pi$. La tangente à la courbe du sinus à l'origine est la droite $y = x$.

6.2 La fonction tangente

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ est définie là où $\cos x \neq 0$, c'est-à-dire sur $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac\pi2 + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$.

• Période $\pi$. Pour $x \in D$, $x + \pi \in D$ et $\tan(x + \pi) = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$.
• Imparité. $\tan(-x) = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
• Dérivée (chapitre 3) : $\tan'(x) = 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} > 0$. Tangente est strictement croissante sur chaque intervalle $\left]-\dfrac\pi2 + k\pi\,;\dfrac\pi2 + k\pi\right[$.
• Limite en $\dfrac\pi2$. Quand $x$ tend vers $\dfrac\pi2$ par la gauche, $\sin x$ tend vers $1$ et $\cos x$ tend vers $0$ en restant positif : $\displaystyle\lim_{x \to \frac\pi2^-} \tan x = +\infty$. La droite $x = \dfrac\pi2$ est asymptote verticale.

Exemple 12. On étudie tangente sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right[$ : elle croît de $\tan 0 = 0$ vers $+\infty$, en passant par $\tan\dfrac\pi4 = 1$. Sa tangente à l'origine a pour coefficient directeur $\tan'(0) = 1$ : c'est la droite $y = x$. Par imparité, on complète sur $\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[$, où tangente croît de $-\infty$ à $+\infty$ ; puis on recopie la courbe tous les $\pi$. Les droites $x = \dfrac\pi2 + k\pi$ sont asymptotes verticales.

$x$	$-\dfrac\pi2$		$0$		$\dfrac\pi2$
signe de $\tan'(x)$	‖	$+$	$+$	$+$	‖
variations de $\tan$	‖ $-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖

6.3 Composées d'une fonction circulaire et d'une fonction affine

Pour $a \neq 0$, les fonctions $x \mapsto \sin(ax + b)$ et $x \mapsto \cos(ax + b)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, de dérivées $a\cos(ax + b)$ et $-a\sin(ax + b)$ (chapitre 3). Elles sont périodiques de période $\dfrac{2\pi}{\lvert a\rvert}$ : par exemple, $\sin\big(a(x + \frac{2\pi}{a}) + b\big) = \sin(ax + b + 2\pi) = \sin(ax + b)$.

Exemple 13. Soit $f(x) = \sin 2x$.

1. Période. $f(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x$ : $f$ est périodique de période $\pi$. On l'étudie sur $[0\,;\pi]$.

2. Dérivée. $f'(x) = 2\cos 2x$. Pour $x \in [0\,;\pi]$, $2x \in [0\,;2\pi]$, et $\cos 2x > 0$ quand $2x \in \left[0\,;\dfrac\pi2\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}2\,;2\pi\right]$, c'est-à-dire $x \in \left[0\,;\dfrac\pi4\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}4\,;\pi\right]$. Sur $\left]\dfrac\pi4\,;\dfrac{3\pi}4\right[$, $\cos 2x < 0$.

$x$	$0$		$\dfrac\pi4$		$\dfrac{3\pi}4$		$\pi$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$

3. Tracé. La courbe passe par $(0\,;0)$, $\left(\dfrac\pi4\,;1\right)$, $\left(\dfrac\pi2\,;0\right)$, $\left(\dfrac{3\pi}4\,;-1\right)$ et $(\pi\,;0)$, avec des tangentes horizontales au maximum et au minimum. Sa tangente à l'origine est la droite $y = 2x$, car $f'(0) = 2$. On recopie l'arc tous les $\pi$ : la courbe ressemble à celle du sinus, mais deux fois plus serrée.

Remarque. On peut aussi réduire l'étude avec la parité : $\sin 2x$ est impaire, donc l'étude sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ suffit, complétée par symétrie par rapport à l'origine et par périodicité.