Tests médicaux, statistiques et probabilités

Le programme de S2-S4 propose de traiter des problèmes tirés de la médecine et de faire ressortir le lien entre statistiques et probabilités. Les données ci-dessous sont inventées (situation simplifiée).

8.1 Un test de dépistage

Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test de dépistage donne :

• un résultat positif chez $95\,\%$ des personnes malades ;
• un résultat positif chez $4\,\%$ des personnes non malades (on parle de « faux positifs »).

On choisit une personne au hasard et on lui fait passer le test. Soit $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif ». L'énoncé donne $P(M) = 0{,}02$, $P(T/M) = 0{,}95$ et $P(T/\overline{M}) = 0{,}04$.

Probabilité d'un test positif (probabilités totales, avec la partition $M$, $\overline{M}$) : $P(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}04 = 0{,}019 + 0{,}0392 = 0{,}0582.$

La question qui intéresse le patient : son test est positif ; quelle est la probabilité qu'il soit malade ? $P(M/T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}019}{0{,}0582} = \frac{95}{291} \approx 0{,}33.$ Seulement une chance sur trois environ. La maladie est rare : les $4\,\%$ de faux positifs, pris sur une très grande population de non-malades, sont plus nombreux que les vrais positifs. Ici, $P(T/M) = 0{,}95$ alors que $P(M/T) \approx 0{,}33$ : on ne confond pas les deux.

À l'inverse, un test négatif est très rassurant : $P(\overline{M}/\overline{T}) = \frac{0{,}98 \times 0{,}96}{1 - 0{,}0582} = \frac{0{,}9408}{0{,}9418} \approx 0{,}999.$

8.2 Le même calcul avec des effectifs

On imagine $10\,000$ personnes qui suivent exactement ces proportions :

Parmi les $582$ personnes positives, $190$ sont malades : la fréquence $\dfrac{190}{582} \approx 0{,}33$ est exactement la probabilité $P(M/T)$. Un tableau d'effectifs (statistique) et un arbre pondéré (probabilités) disent la même chose : c'est souvent la façon la plus simple de vérifier un calcul.

8.3 Pourquoi un second test

On fait passer un second test aux personnes positives. On suppose que, sachant si la personne est malade ou non, les deux tests donnent leurs résultats indépendamment, avec les mêmes caractéristiques. Sur l'arbre, le chemin « malade, positif, positif » vaut $0{,}02 \times 0{,}95 \times 0{,}95 = 0{,}01805$ et le chemin « non malade, positif, positif » vaut $0{,}98 \times 0{,}04 \times 0{,}04 = 0{,}001568$. Sachant que les deux tests sont positifs, la probabilité d'être malade devient $\frac{0{,}01805}{0{,}01805 + 0{,}001568} \approx 0{,}92.$