Expériences aléatoires et probabilités

1.1 Expérience aléatoire et univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant de la réaliser : lancer un dé, tirer une boule dans une urne, choisir un élève au hasard dans une classe.

• Chaque résultat possible est une éventualité (on dit aussi une issue).
• L'ensemble de toutes les éventualités est l'univers, noté $\Omega$ (« oméga »). Dans ce chapitre, $\Omega$ est fini.

Exemple 1. On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$, et on lit le numéro de la face du dessus : $\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$ et $\mathrm{card}\,\Omega = 6$.

Exemple 2. On lance deux fois une pièce de monnaie, et on note P pour pile, F pour face : $\Omega = \{PP\,;PF\,;FP\,;FF\}$. Les éventualités $PF$ et $FP$ sont différentes : l'ordre compte.

1.2 Événements

Un événement est une partie de l'univers $\Omega$. On le décrit par une phrase ou par la liste de ses éventualités. Un événement est réalisé si le résultat de l'expérience est l'une de ses éventualités.

1.3 Opérations sur les événements

Soit $A$ et $B$ deux événements.

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) si $A \cap B = \varnothing$ : ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. Un événement et son contraire sont incompatibles, et leur réunion est $\Omega$.

Exemple 3. On lance le dé. Soit $A$ « obtenir un nombre pair » et $B$ « obtenir au moins $5$ ».

• $A = \{2\,;4\,;6\}$, $B = \{5\,;6\}$, $\overline{A} = \{1\,;3\,;5\}$ ;
• $A \cap B = \{6\}$ : « obtenir un nombre pair supérieur ou égal à $5$ » ;
• $A \cup B = \{2\,;4\,;5\,;6\}$ ;
• $C$ « obtenir $1$ » : $A \cap C = \varnothing$, donc $A$ et $C$ sont incompatibles.

1.4 Probabilité sur un univers fini

Soit $\Omega = \{\omega_1\,;\omega_2\,;\dots\,;\omega_n\}$ un univers fini.

Définition. Définir une probabilité sur $\Omega$, c'est associer à chaque éventualité $\omega_i$ un nombre $p_i$ tel que :

• $0 \leq p_i \leq 1$ pour tout $i$ ;
• $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités des éventualités qui le composent. On pose $P(\varnothing) = 0$.

Conséquences immédiates. $P(\Omega) = 1$, $P(\varnothing) = 0$, et pour tout événement $A$ : $0 \leq P(A) \leq 1$.

On présente souvent la probabilité dans un tableau, appelé loi de probabilité sur $\Omega$.

Exemple 4 (un dé pipé). Un dé est truqué : les faces $1$ à $5$ ont la même probabilité $x$, et la face $6$ a une probabilité trois fois plus grande.

Face	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilité	$x$	$x$	$x$	$x$	$x$	$3x$

La somme vaut $1$ : $5x + 3x = 8x = 1$, donc $x = \dfrac18$ et $P(\{6\}) = \dfrac38$.

Pour $A$ « obtenir un nombre pair » : $P(A) = \dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac38 = \dfrac58$.

1.5 Propriétés

Pour tous événements $A$ et $B$ :

Démonstration.

• $A$ et $\overline{A}$ se partagent les éventualités de $\Omega$ : en ajoutant leurs probabilités, on obtient la somme de toutes les $p_i$, donc $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
• Si $A \cap B = \varnothing$, chaque éventualité de $A \cup B$ est comptée une seule fois dans $P(A) + P(B)$.
• Dans le cas général, les éventualités de $A \cap B$ sont comptées deux fois dans $P(A) + P(B)$ : on les retire une fois.
• Si $A \subset B$, la somme qui donne $P(B)$ contient tous les termes de celle qui donne $P(A)$, plus des termes positifs.

Exemple 5. Avec le dé pipé de l'exemple 4, $A$ « pair » et $B$ « au moins $5$ » : $P(B) = \dfrac18 + \dfrac38 = \dfrac12$, $P(A \cap B) = P(\{6\}) = \dfrac38$, donc $P(A \cup B) = \frac58 + \frac12 - \frac38 = \frac34.$ Vérification directe : $A \cup B = \{2\,;4\,;5\,;6\}$ et $\dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac38 = \dfrac68 = \dfrac34$. Enfin $P(\overline{A}) = 1 - \dfrac58 = \dfrac38$.

1.6 Fréquences et probabilités

Quand on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, dans les mêmes conditions, la fréquence d'apparition d'un événement se stabilise autour de sa probabilité. C'est une observation (on l'admet).

Exemple 6 (simulation). Un ordinateur a simulé $1\,000$ lancers d'un dé équilibré. Le $6$ est sorti $1$ fois sur les $10$ premiers lancers (fréquence $0{,}1$), $18$ fois sur les $100$ premiers ($0{,}18$), $80$ fois sur les $500$ premiers ($0{,}16$) et $166$ fois sur les $1\,000$ ($0{,}166$). La fréquence fluctue beaucoup au début, puis se rapproche de $\dfrac16 \approx 0{,}167$.

Ce lien a deux usages :

• la probabilité donne la fréquence à laquelle on peut s'attendre : avec le dé pipé, sur $800$ lancers, on s'attend à environ $800 \times \dfrac38 = 300$ six ;
• quand on ne connaît pas une probabilité (dé truqué, objet défectueux…), on l'estime par une fréquence observée sur un grand nombre d'essais.

C'est le lien naturel entre la statistique et les probabilités : une fréquence observée est l'image statistique d'une probabilité.