Série donnée par un tableau à double entrée

5.1 Le tableau à double entrée

Quand la population est grande, plusieurs individus ont les mêmes valeurs. Si $x$ prend les valeurs $x_1, \dots, x_p$ et $y$ les valeurs $y_1, \dots, y_q$, on note $n_{ij}$ le nombre d'individus qui ont à la fois la valeur $x_i$ et la valeur $y_j$. On range ces effectifs dans un tableau à double entrée. L'effectif total est $N = \sum_i\sum_j n_{ij}$.

Exemple 9 (données simplifiées). Sur $40$ parcelles de mil, on a relevé la dose d'engrais $x$, en sacs par hectare, et le rendement $y$, en quintaux par hectare.

$y$ \ $x$	$1$	$2$	$3$	Total
$6$	$8$	$2$	$0$	$10$
$8$	$2$	$16$	$2$	$20$
$10$	$0$	$2$	$8$	$10$
Total	$10$	$20$	$10$	$40$

Par exemple, $16$ parcelles ont reçu $2$ sacs par hectare et ont donné $8$ quintaux par hectare.

5.2 Séries marginales (rappel de Première)

Le total de la colonne $x_i$, noté $n_{i\bullet}$, est le nombre d'individus pour lesquels $x = x_i$ ; les couples $\left(x_i\,;n_{i\bullet}\right)$ forment la série marginale de $x$. De même, les totaux des lignes $n_{\bullet j}$ donnent la série marginale de $y$. Les moyennes et les variances se calculent sur ces séries, avec les effectifs : $\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_i n_{i\bullet}\,x_i, \qquad V(x) = \frac{1}{N}\sum_i n_{i\bullet}\,x_i^2 - \overline{x}^2,$ et de même pour $y$.

Exemple 9 (suite).

• Série marginale de $x$ : $1$, $2$, $3$ avec les effectifs $10$, $20$, $10$. $\overline{x} = \dfrac{10 + 40 + 30}{40} = \dfrac{80}{40} = 2$ et $V(x) = \dfrac{10 + 80 + 90}{40} - 4 = 4{,}5 - 4 = 0{,}5$.
• Série marginale de $y$ : $6$, $8$, $10$ avec les effectifs $10$, $20$, $10$. $\overline{y} = \dfrac{320}{40} = 8$ et $V(y) = \dfrac{360 + 1280 + 1000}{40} - 64 = 66 - 64 = 2$.
• Le point moyen est $G(2\,;8)$.

5.3 Séries conditionnelles (rappel de Première)

Une colonne seule décrit la série conditionnelle de $y$ sachant $x = x_i$ : la répartition de $y$ parmi les seuls individus pour lesquels $x = x_i$. La fréquence conditionnelle de $y_j$ est $\dfrac{n_{ij}}{n_{i\bullet}}$. On définit de même, avec une ligne, la série conditionnelle de $x$ sachant $y = y_j$.

Exemple 9 (suite). Parmi les $10$ parcelles qui ont reçu $3$ sacs, les rendements $6$, $8$, $10$ ont les effectifs $0$, $2$, $8$, donc les fréquences conditionnelles $0\,\%$, $20\,\%$ et $80\,\%$. Le rendement moyen de ces parcelles est $\dfrac{0 \times 6 + 2 \times 8 + 8 \times 10}{10} = 9{,}6$ quintaux par hectare.

5.4 Covariance et droites de régression

Chaque case compte autant de fois que son effectif : $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{N}\sum_i\sum_j n_{ij}\,x_i\,y_j - \overline{x}\,\overline{y}.$ Le coefficient de corrélation et les droites de régression se calculent ensuite avec les mêmes formules qu'aux leçons 3 et 4.

Exemple 9 (suite). On calcule $n_{ij}\,x_i\,y_j$ case par case :

$y$ \ $x$	$1$	$2$	$3$	Total
$6$	$8 \times 1 \times 6 = 48$	$2 \times 2 \times 6 = 24$	$0$	$72$
$8$	$2 \times 1 \times 8 = 16$	$16 \times 2 \times 8 = 256$	$2 \times 3 \times 8 = 48$	$320$
$10$	$0$	$2 \times 2 \times 10 = 40$	$8 \times 3 \times 10 = 240$	$280$

Le total vaut $672$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{672}{40} - 2 \times 8 = 16{,}8 - 16 = 0{,}8$.

• $r = \dfrac{0{,}8}{\sqrt{0{,}5} \times \sqrt{2}} = \dfrac{0{,}8}{1} = 0{,}8$ : la corrélation est positive et assez forte.
• $D_{y/x}$ : $a = \dfrac{0{,}8}{0{,}5} = 1{,}6$ et $b = 8 - 1{,}6 \times 2 = 4{,}8$, donc $y = 1{,}6\,x + 4{,}8$.
• $D_{x/y}$ : $a' = \dfrac{0{,}8}{2} = 0{,}4$ et $b' = 2 - 0{,}4 \times 8 = -1{,}2$, donc $x = 0{,}4\,y - 1{,}2$. On vérifie que $a\,a' = 0{,}64 = r^2$.
• Avec $2{,}5$ sacs par hectare, on estime le rendement à $1{,}6 \times 2{,}5 + 4{,}8 = 8{,}8$ quintaux par hectare.