Séries à deux variables, nuage de points et point moyen

1.1 Série statistique à deux variables

On étudie en même temps deux caractères quantitatifs, notés $x$ et $y$, sur une même population de $n$ individus. Chaque individu numéro $i$ fournit un couple $(x_i\,;y_i)$. La liste des $n$ couples est une série statistique à deux variables (ou série double).

Exemple 1 (données simplifiées). Dans une zone du bassin arachidier, on a relevé pendant six saisons la hauteur de pluie $x$, en centaines de millimètres, et le rendement d'arachide $y$, en quintaux par hectare ($1$ quintal $= 100$ kg). Les saisons sont rangées par hauteur de pluie croissante.

Saison $i$	1	2	3	4	5	6
Pluie $x_i$ (centaines de mm)	3	4	6	7	7	9
Rendement $y_i$ (q/ha)	6	8	8	10	9	13

Le couple $(3\,;6)$ signifie : $300$ mm de pluie, et un rendement de $6$ quintaux par hectare. Deux questions guident le chapitre : le rendement dépend-il de la pluie ? Peut-on prévoir le rendement d'une saison à $800$ mm ?

1.2 Nuage de points

Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points $M_i(x_i\,;y_i)$ est le nuage de points de la série.

Dans l'exemple 1, le nuage monte de gauche à droite et il a une forme allongée : quand il pleut davantage, le rendement a tendance à augmenter. Les points ne sont pas alignés, mais ils restent proches d'une droite.

1.3 Point moyen

Définition. Le point moyen du nuage est le point $G(\overline{x}\,;\overline{y})$, où $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad \text{et} \qquad \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i.$

Exemple 1 (suite). $\sum x_i = 3 + 4 + 6 + 7 + 7 + 9 = 36$, donc $\overline{x} = \dfrac{36}{6} = 6$. $\sum y_i = 54$, donc $\overline{y} = \dfrac{54}{6} = 9$. Le point moyen est $G(6\,;9)$.

1.4 Variance et écart-type (rappels de Seconde)

Définition. La variance de la série $x$ et son écart-type sont $V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^2 \qquad \text{et} \qquad \sigma_x = \sqrt{V(x)}.$ La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : elle mesure la dispersion des valeurs. On définit de même $V(y)$ et $\sigma_y$.

Formule de calcul. $V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \overline{x}^2.$

Démonstration. On développe $\left(x_i - \overline{x}\right)^2 = x_i^2 - 2\overline{x}\,x_i + \overline{x}^2$, puis on fait la moyenne : $V(x) = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2\overline{x} \times \frac{1}{n}\sum x_i + \overline{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2\overline{x}^2 + \overline{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \overline{x}^2.$

Exemple 1 (suite). $\sum x_i^2 = 9 + 16 + 36 + 49 + 49 + 81 = 240$, donc $V(x) = \dfrac{240}{6} - 6^2 = 40 - 36 = 4$ et $\sigma_x = 2$. $\sum y_i^2 = 36 + 64 + 64 + 100 + 81 + 169 = 514$, donc $V(y) = \dfrac{514}{6} - 9^2 = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}67$ et $\sigma_y = \sqrt{\dfrac{14}{3}} \approx 2{,}16$.

1.5 Ajuster le nuage par une droite

Quand le nuage a une forme allongée, on cherche une droite qui passe « au plus près » des points : c'est un ajustement affine. En Première, on l'a tracée à main levée, ou par la méthode de Mayer. Ces méthodes dépendent de celui qui trace, ou de la façon de partager le nuage. Cette année, on apprend la méthode des moindres carrés : elle donne, par le calcul, une seule droite, qui servira à faire des prévisions.