Indépendance

4.1 Événements indépendants

Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$

Propriété. Si $P(B) \neq 0$ : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A/B) = P(A)$. Savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$.

Démonstration. $P(A/B) = P(A) \iff \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Méthode. Pour montrer que deux événements sont indépendants, on calcule séparément $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$, puis on compare.

Exemple 1. On lance un dé équilibré. $A$ « pair » $= \{2\,;4\,;6\}$, $B = \{1\,;2\}$, $D$ « au plus $3$ » $= \{1\,;2\,;3\}$.

• $P(A \cap B) = P(\{2\}) = \dfrac16$ et $P(A) \times P(B) = \dfrac12 \times \dfrac13 = \dfrac16$ : $A$ et $B$ sont indépendants.
• $P(A \cap D) = P(\{2\}) = \dfrac16$ et $P(A) \times P(D) = \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac14$ : $A$ et $D$ ne sont pas indépendants.

Propriété. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi (ainsi que $A$ et $\overline{B}$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$).

Démonstration. $B$ est la réunion des événements incompatibles $A \cap B$ et $\overline{A} \cap B$, donc $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = P(B) - P(A)\,P(B) = \big(1 - P(A)\big)\,P(B) = P(\overline{A})\,P(B).$

4.2 Indépendants ou incompatibles : ne pas confondre

• Incompatibles : $A \cap B = \varnothing$. C'est une propriété des ensembles, on la voit sans calcul.
• Indépendants : $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$. C'est une propriété des probabilités, qu'il faut calculer.

Si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants : $P(A \cap B) = 0$, alors que $P(A)\,P(B) > 0$. Par exemple, avec le dé, « pair » et « impair » sont incompatibles : si l'un est réalisé, l'autre ne peut pas l'être, ce qui est tout le contraire de l'indépendance.

4.3 Épreuves successives indépendantes

Quand on enchaîne plusieurs expériences qui n'ont aucune influence les unes sur les autres (lancers successifs d'un dé ou d'une pièce, tirages avec remise…), on dit que les épreuves sont indépendantes. On admet alors que :

la probabilité d'obtenir un résultat donné à chaque épreuve est le produit des probabilités de ces résultats.

Sur l'arbre, les probabilités des branches ne dépendent plus du chemin parcouru.

Exemple 2. On lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée : $P(\text{« } 6 \text{ puis pile »}) = \dfrac16 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{12}$.

Exemple 3. Avec l'urne de $5$ rouges et $3$ vertes, trois tirages avec remise : $P(\text{« rouge, rouge, verte »}) = \dfrac58 \times \dfrac58 \times \dfrac38 = \dfrac{75}{512}$. Avec les trois places possibles de la verte, on retrouve $3 \times \dfrac{75}{512} = \dfrac{225}{512}$ (leçon 2).

Exemple 4. Un tireur atteint sa cible avec la probabilité $0{,}7$ à chaque tir, les tirs étant indépendants. Sur trois tirs, la probabilité de ne jamais l'atteindre est $0{,}3^3 = 0{,}027$, donc la probabilité de l'atteindre au moins une fois est $1 - 0{,}027 = 0{,}973$.