Probabilités

Leçon 1 : Expériences aléatoires et probabilités

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Expérience aléatoire et univers

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant de la réaliser : lancer un dé, tirer une boule dans une urne, choisir un élève au hasard dans une classe.

• Chaque résultat possible est une éventualité (on dit aussi une issue).
• L'ensemble de toutes les éventualités est l'univers, noté $\Omega$ (« oméga »). Dans ce chapitre, $\Omega$ est fini.

Exemple 1. On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$, et on lit le numéro de la face du dessus : $\Omega = \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$ et $\mathrm{card}\,\Omega = 6$.

Exemple 2. On lance deux fois une pièce de monnaie, et on note P pour pile, F pour face : $\Omega = \{PP\,;PF\,;FP\,;FF\}$. Les éventualités $PF$ et $FP$ sont différentes : l'ordre compte.

1.2 Événements

Un événement est une partie de l'univers $\Omega$. On le décrit par une phrase ou par la liste de ses éventualités. Un événement est réalisé si le résultat de l'expérience est l'une de ses éventualités.

1.3 Opérations sur les événements

Soit $A$ et $B$ deux événements.

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) si $A \cap B = \varnothing$ : ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. Un événement et son contraire sont incompatibles, et leur réunion est $\Omega$.

Exemple 3. On lance le dé. Soit $A$ « obtenir un nombre pair » et $B$ « obtenir au moins $5$ ».

• $A = \{2\,;4\,;6\}$, $B = \{5\,;6\}$, $\overline{A} = \{1\,;3\,;5\}$ ;
• $A \cap B = \{6\}$ : « obtenir un nombre pair supérieur ou égal à $5$ » ;
• $A \cup B = \{2\,;4\,;5\,;6\}$ ;
• $C$ « obtenir $1$ » : $A \cap C = \varnothing$, donc $A$ et $C$ sont incompatibles.

1.4 Probabilité sur un univers fini

Soit $\Omega = \{\omega_1\,;\omega_2\,;\dots\,;\omega_n\}$ un univers fini.

Définition. Définir une probabilité sur $\Omega$, c'est associer à chaque éventualité $\omega_i$ un nombre $p_i$ tel que :

• $0 \leq p_i \leq 1$ pour tout $i$ ;
• $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités des éventualités qui le composent. On pose $P(\varnothing) = 0$.

Conséquences immédiates. $P(\Omega) = 1$, $P(\varnothing) = 0$, et pour tout événement $A$ : $0 \leq P(A) \leq 1$.

On présente souvent la probabilité dans un tableau, appelé loi de probabilité sur $\Omega$.

Exemple 4 (un dé pipé). Un dé est truqué : les faces $1$ à $5$ ont la même probabilité $x$, et la face $6$ a une probabilité trois fois plus grande.

Face	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilité	$x$	$x$	$x$	$x$	$x$	$3x$

La somme vaut $1$ : $5x + 3x = 8x = 1$, donc $x = \dfrac18$ et $P(\{6\}) = \dfrac38$.

Pour $A$ « obtenir un nombre pair » : $P(A) = \dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac38 = \dfrac58$.

1.5 Propriétés

Pour tous événements $A$ et $B$ :

Démonstration.

• $A$ et $\overline{A}$ se partagent les éventualités de $\Omega$ : en ajoutant leurs probabilités, on obtient la somme de toutes les $p_i$, donc $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
• Si $A \cap B = \varnothing$, chaque éventualité de $A \cup B$ est comptée une seule fois dans $P(A) + P(B)$.
• Dans le cas général, les éventualités de $A \cap B$ sont comptées deux fois dans $P(A) + P(B)$ : on les retire une fois.
• Si $A \subset B$, la somme qui donne $P(B)$ contient tous les termes de celle qui donne $P(A)$, plus des termes positifs.

Exemple 5. Avec le dé pipé de l'exemple 4, $A$ « pair » et $B$ « au moins $5$ » : $P(B) = \dfrac18 + \dfrac38 = \dfrac12$, $P(A \cap B) = P(\{6\}) = \dfrac38$, donc $P(A \cup B) = \frac58 + \frac12 - \frac38 = \frac34.$ Vérification directe : $A \cup B = \{2\,;4\,;5\,;6\}$ et $\dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac38 = \dfrac68 = \dfrac34$. Enfin $P(\overline{A}) = 1 - \dfrac58 = \dfrac38$.

1.6 Fréquences et probabilités

Quand on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, dans les mêmes conditions, la fréquence d'apparition d'un événement se stabilise autour de sa probabilité. C'est une observation (on l'admet).

Exemple 6 (simulation). Un ordinateur a simulé $1\,000$ lancers d'un dé équilibré. Le $6$ est sorti $1$ fois sur les $10$ premiers lancers (fréquence $0{,}1$), $18$ fois sur les $100$ premiers ($0{,}18$), $80$ fois sur les $500$ premiers ($0{,}16$) et $166$ fois sur les $1\,000$ ($0{,}166$). La fréquence fluctue beaucoup au début, puis se rapproche de $\dfrac16 \approx 0{,}167$.

Ce lien a deux usages :

• la probabilité donne la fréquence à laquelle on peut s'attendre : avec le dé pipé, sur $800$ lancers, on s'attend à environ $800 \times \dfrac38 = 300$ six ;
• quand on ne connaît pas une probabilité (dé truqué, objet défectueux…), on l'estime par une fréquence observée sur un grand nombre d'essais.

C'est le lien naturel entre la statistique et les probabilités : une fréquence observée est l'image statistique d'une probabilité.

Leçon 2 : Équiprobabilité et dénombrement

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Équiprobabilité

Définition. Si toutes les éventualités ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité. Avec $\mathrm{card}\,\Omega = n$, chaque éventualité a alors la probabilité $\dfrac1n$, et pour tout événement $A$ : $P(A) = \frac{\mathrm{card}\,A}{\mathrm{card}\,\Omega} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.$

L'équiprobabilité est une hypothèse de modélisation, que l'énoncé signale par des expressions comme « dé équilibré », « pièce bien équilibrée », « boules indiscernables au toucher », « on choisit au hasard ».

Exemple 1 (deux dés). On lance deux dés équilibrés, un rouge et un vert. Une éventualité est un couple $(r\,;v)$ : $\mathrm{card}\,\Omega = 6 \times 6 = 36$, et les $36$ couples sont équiprobables.

• « La somme vaut $7$ » : $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$, $(6;1)$, soit $6$ cas : $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac16$.
• « Obtenir au moins un $6$ » : son contraire, « aucun $6$ », compte $5 \times 5 = 25$ couples. Donc $P = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$.

2.2 Rappels de dénombrement (Première)

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier naturel.

On lit $C_n^p$ « C, n, p » et $n!$ « factorielle $n$ », avec $0! = 1$. On rencontre aussi la notation $\binom{n}{p}$ pour $C_n^p$.

Propriétés. $C_n^0 = C_n^n = 1$ ; $C_n^1 = n$ ; $C_n^p = C_n^{n-p}$ ; $C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^{p}$ (triangle de Pascal).

2.3 Modéliser un tirage

Le type de tirage décide de l'univers. Dans les trois cas, il y a équiprobabilité.

Exemple 2. Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire $3$ boules.

a. Tirage simultané. $\mathrm{card}\,\Omega = C_8^3 = 56$.

• « Exactement $2$ rouges » : on choisit $2$ rouges parmi $5$ et $1$ verte parmi $3$ : $C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30$ cas, donc $P = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28}$.
• « Au moins une verte » : contraire de « $3$ rouges », qui compte $C_5^3 = 10$ cas. $P = 1 - \dfrac{10}{56} = \dfrac{23}{28}$.

b. Tirage successif sans remise. $\mathrm{card}\,\Omega = A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

• « Rouge, rouge, verte, dans cet ordre » : $5 \times 4 \times 3 = 60$ cas, $P = \dfrac{60}{336} = \dfrac{5}{28}$.
• « Exactement $2$ rouges » : la verte peut être en position $1$, $2$ ou $3$, soit $3 \times 60 = 180$ cas, $P = \dfrac{180}{336} = \dfrac{15}{28}$. On retrouve le résultat du tirage simultané : pour un événement qui ne dépend pas de l'ordre, les deux modèles donnent la même probabilité.

c. Tirage successif avec remise. $\mathrm{card}\,\Omega = 8^3 = 512$.

• « Exactement $2$ rouges » : $3$ positions possibles pour la verte, puis $5 \times 5 \times 3$ choix : $3 \times 75 = 225$ cas, $P = \dfrac{225}{512}$.

2.4 « Au moins un » : passer par le contraire

Méthode. Pour « au moins un… », on calcule presque toujours la probabilité du contraire, « aucun… », puis $P(A) = 1 - P(\overline{A})$. C'est ce qui a été fait dans les exemples 1 et 2.

Leçon 3 : Probabilités conditionnelles

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Définition

Activité. Une urne contient $10$ boules : $6$ rouges, dont $4$ portent le numéro $1$, et $4$ vertes, dont $1$ porte le numéro $1$. On tire une boule au hasard. Soit $R$ « la boule est rouge » et $U$ « la boule porte le numéro $1$ ». Alors $P(U) = \dfrac{5}{10} = \dfrac12$.

On apprend que la boule tirée est rouge. Il ne reste que $6$ cas possibles, dont $4$ favorables : la probabilité que la boule porte le numéro $1$ devient $\dfrac46 = \dfrac23$. On remarque que $\dfrac46 = \dfrac{4/10}{6/10} = \dfrac{P(U \cap R)}{P(R)}$.

Définition. Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $A$ sachant $B$ est $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$ On rencontre aussi les notations $P_B(A)$ et $P(A \mid B)$.

Propriété. Pour $B$ fixé, $A \mapsto P(A/B)$ est une probabilité sur $\Omega$ : elle est comprise entre $0$ et $1$, $P(\Omega/B) = 1$ et $P(\overline{A}/B) = 1 - P(A/B).$

Attention. En général, $P(A/B) \neq P(B/A)$. Dans l'activité, $P(U/R) = \dfrac23$, mais $P(R/U) = \dfrac{P(R \cap U)}{P(U)} = \dfrac{4/10}{5/10} = \dfrac45$.

3.2 Formule des probabilités composées

En multipliant la définition par $P(B)$ (ou en échangeant les rôles) : si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, $P(A \cap B) = P(B) \times P(A/B) = P(A) \times P(B/A).$

Exemple 1. On reprend l'urne de $5$ boules rouges et $3$ vertes, et on tire successivement sans remise deux boules. Soit $R_1$ « la première est rouge » et $R_2$ « la deuxième est rouge ». Après une rouge, il reste $4$ rouges sur $7$ boules : $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2/R_1) = \frac58 \times \frac47 = \frac{5}{14}.$

3.3 Arbres pondérés

Une expérience qui se déroule en plusieurs étapes se représente par un arbre pondéré : sur chaque branche, on écrit la probabilité de l'événement au bout de la branche sachant le chemin déjà parcouru.

Règles de l'arbre.

1. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.
2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches (formule des probabilités composées).
3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Exemple 2. Même urne, deux tirages sans remise. L'arbre a quatre chemins :

Chemin	Probabilité
$R_1$ puis $R_2$	$\dfrac58 \times \dfrac47 = \dfrac{20}{56}$
$R_1$ puis $\overline{R_2}$	$\dfrac58 \times \dfrac37 = \dfrac{15}{56}$
$\overline{R_1}$ puis $R_2$	$\dfrac38 \times \dfrac57 = \dfrac{15}{56}$
$\overline{R_1}$ puis $\overline{R_2}$	$\dfrac38 \times \dfrac27 = \dfrac{6}{56}$

La somme des quatre chemins vaut $\dfrac{56}{56} = 1$. La deuxième boule est rouge sur deux chemins : $P(R_2) = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac58.$ C'est la même probabilité que pour la première boule : sans information sur le premier tirage, le deuxième n'est ni favorisé ni défavorisé.

3.4 Formule des probabilités totales

Définition. Des événements $B_1$, $B_2$, …, $B_n$ forment une partition de $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, et si leur réunion est $\Omega$. Exemple le plus courant : $B$ et $\overline{B}$.

Théorème (formule des probabilités totales). Si $B_1$, …, $B_n$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout événement $A$ : $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = P(B_1)\,P(A/B_1) + P(B_2)\,P(A/B_2) + \dots + P(B_n)\,P(A/B_n).$

Démonstration. Les événements $A \cap B_i$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $A$. On ajoute leurs probabilités, puis on écrit chacune avec la formule des probabilités composées.

Sur un arbre, c'est la règle 3 : on ajoute les chemins qui mènent à $A$.

Exemple 3 (situation simplifiée). Un élève se rend au lycée en car rapide avec la probabilité $0{,}7$, sinon à pied. En car rapide, il arrive en retard avec la probabilité $0{,}2$ ; à pied, avec la probabilité $0{,}1$. Soit $C$ « il prend le car rapide » et $R$ « il est en retard ».

$C$ et $\overline{C}$ forment une partition de $\Omega$ : $P(R) = P(C)\,P(R/C) + P(\overline{C})\,P(R/\overline{C}) = 0{,}7 \times 0{,}2 + 0{,}3 \times 0{,}1 = 0{,}14 + 0{,}03 = 0{,}17.$ Il est en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait pris le car rapide ? $P(C/R) = \frac{P(C \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}14}{0{,}17} = \frac{14}{17} \approx 0{,}82.$

Leçon 4 : Indépendance

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Événements indépendants

Définition. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B).$

Propriété. Si $P(B) \neq 0$ : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A/B) = P(A)$. Savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$.

Démonstration. $P(A/B) = P(A) \iff \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Méthode. Pour montrer que deux événements sont indépendants, on calcule séparément $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$, puis on compare.

Exemple 1. On lance un dé équilibré. $A$ « pair » $= \{2\,;4\,;6\}$, $B = \{1\,;2\}$, $D$ « au plus $3$ » $= \{1\,;2\,;3\}$.

• $P(A \cap B) = P(\{2\}) = \dfrac16$ et $P(A) \times P(B) = \dfrac12 \times \dfrac13 = \dfrac16$ : $A$ et $B$ sont indépendants.
• $P(A \cap D) = P(\{2\}) = \dfrac16$ et $P(A) \times P(D) = \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac14$ : $A$ et $D$ ne sont pas indépendants.

Propriété. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi (ainsi que $A$ et $\overline{B}$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$).

Démonstration. $B$ est la réunion des événements incompatibles $A \cap B$ et $\overline{A} \cap B$, donc $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = P(B) - P(A)\,P(B) = \big(1 - P(A)\big)\,P(B) = P(\overline{A})\,P(B).$

4.2 Indépendants ou incompatibles : ne pas confondre

• Incompatibles : $A \cap B = \varnothing$. C'est une propriété des ensembles, on la voit sans calcul.
• Indépendants : $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$. C'est une propriété des probabilités, qu'il faut calculer.

Si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants : $P(A \cap B) = 0$, alors que $P(A)\,P(B) > 0$. Par exemple, avec le dé, « pair » et « impair » sont incompatibles : si l'un est réalisé, l'autre ne peut pas l'être, ce qui est tout le contraire de l'indépendance.

4.3 Épreuves successives indépendantes

Quand on enchaîne plusieurs expériences qui n'ont aucune influence les unes sur les autres (lancers successifs d'un dé ou d'une pièce, tirages avec remise…), on dit que les épreuves sont indépendantes. On admet alors que :

la probabilité d'obtenir un résultat donné à chaque épreuve est le produit des probabilités de ces résultats.

Sur l'arbre, les probabilités des branches ne dépendent plus du chemin parcouru.

Exemple 2. On lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée : $P(\text{« } 6 \text{ puis pile »}) = \dfrac16 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{12}$.

Exemple 3. Avec l'urne de $5$ rouges et $3$ vertes, trois tirages avec remise : $P(\text{« rouge, rouge, verte »}) = \dfrac58 \times \dfrac58 \times \dfrac38 = \dfrac{75}{512}$. Avec les trois places possibles de la verte, on retrouve $3 \times \dfrac{75}{512} = \dfrac{225}{512}$ (leçon 2).

Exemple 4. Un tireur atteint sa cible avec la probabilité $0{,}7$ à chaque tir, les tirs étant indépendants. Sur trois tirs, la probabilité de ne jamais l'atteindre est $0{,}3^3 = 0{,}027$, donc la probabilité de l'atteindre au moins une fois est $1 - 0{,}027 = 0{,}973$.

Leçon 5 : Variable aléatoire, loi de probabilité, fonction de répartition

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Variable aléatoire

Définition. Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque éventualité de $\Omega$, associe un nombre réel. L'ensemble des valeurs prises par $X$ se note $X(\Omega)$.

Notations. Pour un réel $x$ :

• $(X = x)$ désigne l'événement « $X$ prend la valeur $x$ », c'est-à-dire l'ensemble des éventualités $\omega$ telles que $X(\omega) = x$ ; sa probabilité se note $P(X = x)$ ;
• de même pour $(X \leq x)$, $(X > x)$, $(a < X \leq b)$, etc.

Exemple 1 (un jeu, situation simplifiée). On lance un dé équilibré. Si on obtient $1$, $2$ ou $3$, on perd $100$ F ; si on obtient $4$ ou $5$, on gagne $50$ F ; si on obtient $6$, on gagne $200$ F (F désigne le franc CFA). Le gain $X$ est une variable aléatoire : $X(1) = X(2) = X(3) = -100$, $X(4) = X(5) = 50$, $X(6) = 200$, et $X(\Omega) = \{-100\,;50\,;200\}$.

5.2 Loi de probabilité

Définition. Si $X(\Omega) = \{x_1\,;x_2\,;\dots\,;x_r\}$, avec $x_1 < x_2 < \dots < x_r$, déterminer la loi de probabilité de $X$, c'est donner la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de chacune des valeurs. On la présente dans un tableau. Les événements $(X = x_i)$ forment une partition de $\Omega$, donc $p_1 + p_2 + \dots + p_r = 1.$

Méthode. 1. Lister les valeurs possibles de $X$. 2. Pour chaque valeur, trouver les éventualités qui la donnent et calculer sa probabilité. 3. Vérifier que la somme vaut $1$.

Exemple 1 (suite).

$x_i$	$-100$	$50$	$200$
$P(X = x_i)$	$\dfrac36 = \dfrac12$	$\dfrac26 = \dfrac13$	$\dfrac16$

Vérification : $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac16 = 1$.

Exemple 2. Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire simultanément $2$ boules et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. $\mathrm{card}\,\Omega = C_5^2 = 10$ et $X(\Omega) = \{0\,;1\,;2\}$.

• $P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{10} = \dfrac{1}{10}$ ; $P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \times C_2^1}{10} = \dfrac{6}{10}$ ; $P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{10} = \dfrac{3}{10}$.
• Vérification : $\dfrac{1 + 6 + 3}{10} = 1$.

5.3 Fonction de répartition

Définition. La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = P(X \leq x).$

Calcul. $F(x)$ est la somme des probabilités des valeurs $x_i$ inférieures ou égales à $x$ :

• si $x < x_1$, aucune valeur ne convient : $F(x) = 0$ ;
• si $x_1 \leq x < x_2$ : $F(x) = p_1$ ; si $x_2 \leq x < x_3$ : $F(x) = p_1 + p_2$ ; et ainsi de suite ;
• si $x \geq x_r$ : $F(x) = 1$.

Propriétés.

• $F$ est croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[0\,;1]$.
• $F$ est constante sur chaque intervalle $[x_i\,;x_{i+1}[$ : sa courbe est en escalier. En $x_i$, elle fait un saut de hauteur $p_i$.
• Pour $a < b$ : $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ et $P(X > a) = 1 - F(a)$.

Exemple 1 (suite). Pour le jeu : $F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < -100 \\ \dfrac12 & \text{si } -100 \leq x < 50 \\ \dfrac56 & \text{si } 50 \leq x < 200 \\ 1 & \text{si } x \geq 200 \end{cases}$ En effet, pour $50 \leq x < 200$, $F(x) = P(X = -100) + P(X = 50) = \dfrac12 + \dfrac13 = \dfrac56$.

Représentation. Sur chaque intervalle, on trace un segment horizontal ; l'extrémité gauche est un point plein (la valeur est atteinte), l'extrémité droite un point creux (elle ne l'est pas).

Exemple 2 (suite). $F(x) = 0$ si $x < 0$ ; $F(x) = 0{,}1$ si $0 \leq x < 1$ ; $F(x) = 0{,}7$ si $1 \leq x < 2$ ; $F(x) = 1$ si $x \geq 2$. Par exemple $P(X > 0) = 1 - F(0) = 0{,}9$.

Leçon 6 : Espérance, variance, écart-type

Voir la vidéo de la leçon 6

Soit $X$ une variable aléatoire de loi : $P(X = x_i) = p_i$, pour $i$ de $1$ à $r$.

6.1 Espérance

Définition. L'espérance mathématique de $X$ est $E(X) = \sum_{i=1}^{r} x_i\,p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_r p_r.$

Interprétation. Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues pour $X$ est proche de $E(X)$ : l'espérance est la valeur moyenne que l'on peut espérer. Quand $X$ est le gain d'un joueur, le jeu est dit équitable si $E(X) = 0$, favorable au joueur si $E(X) > 0$, défavorable si $E(X) < 0$.

Exemple 1 (le jeu de la leçon 5). $E(X) = -100 \times \frac12 + 50 \times \frac13 + 200 \times \frac16 = -50 + \frac{50}{3} + \frac{100}{3} = 0.$ Le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne ni ne perd en moyenne.

Exemple 2 (l'urne de la leçon 5). $E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}6 + 2 \times 0{,}3 = 1{,}2$ : en moyenne, on tire $1{,}2$ boule rouge.

Remarque. $E(X)$ n'est pas forcément une valeur prise par $X$ (on ne tire jamais $1{,}2$ boule).

6.2 Variance et écart-type

Définition. La variance de $X$ est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance : $V(X) = \sum_{i=1}^{r} p_i\,\big(x_i - E(X)\big)^2.$ L'écart-type de $X$ est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de $E(X)$, dans la même unité que $X$.

Propriété (formule de calcul). $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \qquad \text{où } E(X^2) = \sum_{i=1}^{r} x_i^2\,p_i.$

Démonstration. Notons $m = E(X)$. En développant $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ : $V(X) = \sum p_i x_i^2 - 2m\sum p_i x_i + m^2 \sum p_i = E(X^2) - 2m \times m + m^2 \times 1 = E(X^2) - m^2.$

Exemple 1 (suite). $E(X^2) = (-100)^2 \times \dfrac12 + 50^2 \times \dfrac13 + 200^2 \times \dfrac16 = 5\,000 + \dfrac{2\,500}{3} + \dfrac{20\,000}{3} = 12\,500$. Comme $E(X) = 0$ : $V(X) = 12\,500$ et $\sigma(X) = \sqrt{12\,500} = 50\sqrt5 \approx 111{,}8$ F. Le jeu est équitable, mais les gains sont très dispersés.

Exemple 2 (suite). $E(X^2) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}6 + 4 \times 0{,}3 = 1{,}8$, donc $V(X) = 1{,}8 - 1{,}2^2 = 0{,}36$ et $\sigma(X) = 0{,}6$.

Remarque (utile dans les exercices). Pour des réels $a$ et $b$ : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2\,V(X)$. Ces formules se démontrent directement à partir des définitions. Par exemple, si chaque partie du jeu coûte en plus $10$ F, le nouveau gain $X - 10$ a pour espérance $-10$ F et la même variance.

6.3 Statistique et probabilités

Les formules sont les mêmes : on remplace les fréquences observées par les probabilités du modèle.

Leçon 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Épreuve de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l'échec $\overline{S}$, de probabilité $q = 1 - p$.

Exemples : lancer une pièce (succès : pile, $p = \frac12$) ; lancer un dé (succès : obtenir $6$, $p = \frac16$) ; répondre au hasard à une question à $4$ propositions dont une seule est juste (succès : bonne réponse, $p = \frac14$).

7.2 Schéma de Bernoulli

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $p$.

On s'intéresse au nombre de succès $X$, qui prend les valeurs $0$, $1$, …, $n$.

Exemple ($n = 3$). On représente les trois épreuves par un arbre à $2^3 = 8$ chemins. Chaque branche « succès » porte $p$, chaque branche « échec » porte $q$ (les épreuves sont indépendantes).

• Un chemin avec $2$ succès et $1$ échec a pour probabilité $p^2 q$, quel que soit l'ordre.
• Il y a $3$ tels chemins : $SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$, $\overline{S}SS$. C'est le nombre de façons de choisir les $2$ épreuves réussies parmi $3$, soit $C_3^2 = 3$.
• Donc $P(X = 2) = C_3^2\,p^2 q = 3p^2 q$.

7.3 Loi binomiale

Théorème. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $P(X = k) = C_n^k\,p^k\,(1-p)^{n-k}, \qquad k \in \{0\,;1\,;\dots\,;n\}.$

Démonstration. Un chemin de l'arbre qui comporte $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k q^{n-k}$ (produit des branches, épreuves indépendantes). Un tel chemin est déterminé par le choix des $k$ épreuves réussies parmi les $n$ : il y en a $C_n^k$. On ajoute leurs probabilités.

Vérification. D'après la formule du binôme de Newton, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k\,p^k q^{n-k} = (p + q)^n = 1^n = 1$.

Cas particuliers à connaître. $P(X = 0) = q^n$ (aucun succès), $P(X = n) = p^n$, et $P(X \geq 1) = 1 - q^n$.

Exemple 1 (QCM au hasard). Un QCM comporte $5$ questions, chacune avec $4$ propositions dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question. Les réponses sont indépendantes, donc le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal{B}\big(5\,;\frac14\big)$.

• $P(X = 0) = \left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1\,024} \approx 0{,}237$.
• $P(X = 2) = C_5^2 \left(\dfrac14\right)^2 \left(\dfrac34\right)^3 = 10 \times \dfrac{1}{16} \times \dfrac{27}{64} = \dfrac{135}{512} \approx 0{,}264$.
• $P(X \geq 1) = 1 - \dfrac{243}{1\,024} = \dfrac{781}{1\,024} \approx 0{,}763$.

Loi complète (valeurs arrondies au millième) :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = k)$	$0{,}237$	$0{,}396$	$0{,}264$	$0{,}088$	$0{,}015$	$0{,}001$

Exemple 2 (situation simplifiée). Un sachet de graines annonce un taux de germination de $80\,\%$. On sème $4$ graines, qui germent indépendamment les unes des autres. Le nombre $Y$ de graines qui germent suit $\mathcal{B}(4\,;0{,}8)$ : $P(Y = 4) = 0{,}8^4 = 0{,}4096$ ; $P(Y = 3) = C_4^3 \times 0{,}8^3 \times 0{,}2 = 0{,}4096$ ; donc $P(Y \geq 3) = 0{,}8192$.

7.4 Espérance et variance d'une loi binomiale

Propriété (admise). Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.$

Vérification pour $n = 1$. $X$ vaut $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $q$ : $E(X) = p$, $E(X^2) = p$, $V(X) = p - p^2 = pq$.