Espérance, variance, écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire de loi : $P(X = x_i) = p_i$, pour $i$ de $1$ à $r$.

6.1 Espérance

Définition. L'espérance mathématique de $X$ est $E(X) = \sum_{i=1}^{r} x_i\,p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_r p_r.$

Interprétation. Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs obtenues pour $X$ est proche de $E(X)$ : l'espérance est la valeur moyenne que l'on peut espérer. Quand $X$ est le gain d'un joueur, le jeu est dit équitable si $E(X) = 0$, favorable au joueur si $E(X) > 0$, défavorable si $E(X) < 0$.

Exemple 1 (le jeu de la leçon 5). $E(X) = -100 \times \frac12 + 50 \times \frac13 + 200 \times \frac16 = -50 + \frac{50}{3} + \frac{100}{3} = 0.$ Le jeu est équitable : sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne ni ne perd en moyenne.

Exemple 2 (l'urne de la leçon 5). $E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}6 + 2 \times 0{,}3 = 1{,}2$ : en moyenne, on tire $1{,}2$ boule rouge.

Remarque. $E(X)$ n'est pas forcément une valeur prise par $X$ (on ne tire jamais $1{,}2$ boule).

6.2 Variance et écart-type

Définition. La variance de $X$ est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance : $V(X) = \sum_{i=1}^{r} p_i\,\big(x_i - E(X)\big)^2.$ L'écart-type de $X$ est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il mesure la dispersion des valeurs de $X$ autour de $E(X)$, dans la même unité que $X$.

Propriété (formule de calcul). $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, \qquad \text{où } E(X^2) = \sum_{i=1}^{r} x_i^2\,p_i.$

Démonstration. Notons $m = E(X)$. En développant $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ : $V(X) = \sum p_i x_i^2 - 2m\sum p_i x_i + m^2 \sum p_i = E(X^2) - 2m \times m + m^2 \times 1 = E(X^2) - m^2.$

Exemple 1 (suite). $E(X^2) = (-100)^2 \times \dfrac12 + 50^2 \times \dfrac13 + 200^2 \times \dfrac16 = 5\,000 + \dfrac{2\,500}{3} + \dfrac{20\,000}{3} = 12\,500$. Comme $E(X) = 0$ : $V(X) = 12\,500$ et $\sigma(X) = \sqrt{12\,500} = 50\sqrt5 \approx 111{,}8$ F. Le jeu est équitable, mais les gains sont très dispersés.

Exemple 2 (suite). $E(X^2) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}6 + 4 \times 0{,}3 = 1{,}8$, donc $V(X) = 1{,}8 - 1{,}2^2 = 0{,}36$ et $\sigma(X) = 0{,}6$.

Remarque (utile dans les exercices). Pour des réels $a$ et $b$ : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2\,V(X)$. Ces formules se démontrent directement à partir des définitions. Par exemple, si chaque partie du jeu coûte en plus $10$ F, le nouveau gain $X - 10$ a pour espérance $-10$ F et la même variance.

6.3 Statistique et probabilités

Les formules sont les mêmes : on remplace les fréquences observées par les probabilités du modèle.