Probabilités

1. Question 1 sur 17On lance un dé cubique numéroté de $1$ à $6$ . L'événement contraire de « obtenir un nombre premier » est

   A $\{1\,;4\,;6\}$ B $\{4\,;6\}$ C $\{1\,;3\,;5\}$ D $\{2\,;3\,;5\}$

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   Réponse A. Les nombres premiers entre $1$ et $6$ sont $2$ , $3$ et $5$ ( $1$ n'est pas premier). Le contraire contient les autres éventualités : $1$ , $4$ et $6$ .

2. Question 2 sur 17$A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}5$ . Alors $P(A \cup B) =$

   A $0{,}8$ B $0{,}15$ C $0{,}65$ D $0{,}2$

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   Réponse A. Pour des événements incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . La réponse C suppose à tort qu'ils sont indépendants.

3. Question 3 sur 17$P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}3$ . Alors $P(A \cup B) =$

   A $1{,}1$ B $0{,}8$ C $0{,}3$ D $0{,}9$

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   Réponse B. $P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}8$ . La réponse A oublie de retirer l'intersection, et une probabilité ne dépasse jamais $1$ .

4. Question 4 sur 17On lance deux dés équilibrés. La probabilité que la somme des deux numéros soit égale à $4$ est

   A $\dfrac{1}{12}$ B $\dfrac16$ C $\dfrac19$ D $\dfrac14$

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   Réponse A. Les couples $(1;3)$ , $(2;2)$ et $(3;1)$ donnent $3$ cas sur $36$ , soit $\frac{1}{12}$ .

5. Question 5 sur 17Une urne contient $4$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire simultanément $2$ boules. La probabilité d'obtenir deux boules rouges est

   A $\dfrac25$ B $\dfrac49$ C $\dfrac13$ D $\dfrac23$

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   Réponse A. $\dfrac{C_4^2}{C_6^2} = \dfrac{6}{15} = \dfrac25$ . La réponse B, $\left(\frac46\right)^2$ , correspond à un tirage avec remise.

6. Question 6 sur 17On tire successivement sans remise $3$ boules dans une urne de $7$ boules numérotées. Le nombre de résultats possibles est

   A $343$ B $35$ C $210$ D $21$

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   Réponse C. L'ordre compte et il n'y a pas de répétition : $A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$ . La réponse A est le nombre de tirages avec remise, la réponse B celui des tirages simultanés.

7. Question 7 sur 17$P(A \cap B) = 0{,}12$ et $P(B) = 0{,}4$ . Alors $P(A/B) =$

   A $0{,}3$ B $0{,}048$ C $0{,}28$ D $0{,}52$

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   Réponse A. $P(A/B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3$ . La réponse B multiplie au lieu de diviser.

8. Question 8 sur 17$P(A) = 0{,}4$ , $P(B/A) = 0{,}5$ et $P(B/\overline{A}) = 0{,}2$ . Alors $P(B) =$

   A $0{,}32$ B $0{,}7$ C $0{,}2$ D $0{,}1$

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   Réponse A. Probabilités totales : $P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}2 + 0{,}12 = 0{,}32$ .

9. Question 9 sur 17Avec les données de la question précédente, $P(A/B) =$

   A $\dfrac58$ B $\dfrac12$ C $0{,}2$ D $0{,}4$

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   Réponse A. $P(A/B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}32} = \dfrac58$ . La réponse B confond $P(A/B)$ avec $P(B/A)$ .

10. Question 10 sur 17$A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}4$ . Alors $P(A \cup B) =$

    A $0{,}9$ B $0{,}7$ C $0{,}2$ D $0{,}5$

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    Réponse B. $P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$ , donc $P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7$ .

11. Question 11 sur 17$A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ . Alors

    A $A$ et $B$ sont indépendants B $A$ et $B$ ne sont pas indépendants C $P(A \cup B) = P(A) \times P(B)$ D $P(A/B) = P(A)$

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    Réponse B. $P(A \cap B) = 0$ alors que $P(A) \times P(B) > 0$ : des événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

12. Question 12 sur 17Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ et $2$ avec les probabilités $0{,}3$ , $0{,}5$ et $0{,}2$ . Sa fonction de répartition $F$ vérifie $F(1) =$

    A $0{,}5$ B $0{,}8$ C $0{,}3$ D $1$

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    Réponse B. $F(1) = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}8$ . La réponse A ne compte que $P(X = 1)$ .

13. Question 13 sur 17Avec la loi de la question précédente, $E(X) =$

    A $1$ B $0{,}9$ C $1{,}5$ D $0{,}5$

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    Réponse B. $E(X) = 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}2 = 0{,}9$ . La réponse A est la moyenne des valeurs, sans tenir compte des probabilités.

14. Question 14 sur 17Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 5$ . Alors $V(X) =$

    A $1$ B $3$ C $9$ D $\sqrt3$

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    Réponse A. $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 5 - 4 = 1$ .

15. Question 15 sur 17$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\big(4\,;\frac12\big)$ . Alors $P(X = 2) =$

    A $\dfrac12$ B $\dfrac38$ C $\dfrac14$ D $\dfrac{1}{16}$

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    Réponse B. $C_4^2 \left(\frac12\right)^2 \left(\frac12\right)^2 = \dfrac{6}{16} = \dfrac38$ . La réponse D oublie le coefficient $C_4^2$ .

16. Question 16 sur 17On définit une probabilité $P$ sur $\Omega = \{a\,;b\,;c\}$ avec $P(\{a\}) = 0{,}5$ et $P(\{b\}) = 0{,}2$ . Alors $P(\{b\,;c\}) =$

    A $0{,}2$ B $0{,}3$ C $0{,}5$ D $0{,}7$

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    Réponse C. $P(\{c\}) = 1 - 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3$ , donc $P(\{b\,;c\}) = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5$ . On peut aussi écrire $P(\{b\,;c\}) = 1 - P(\{a\})$ .

17. Question 17 sur 17On lance un dé équilibré et une pièce équilibrée, de façon indépendante, et on munit l'univers produit de la probabilité produit. La probabilité de l'éventualité $(6\,;\text{face})$ est

    A $\dfrac{1}{12}$ B $\dfrac18$ C $\dfrac{7}{12}$ D $\dfrac23$

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    Réponse A. $P\big(\{(6\,;\text{face})\}\big) = \dfrac16 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{12}$ . La réponse B ajoute les nombres d'issues au lieu de les multiplier.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.