Variable aléatoire, loi de probabilité, fonction de répartition

5.1 Variable aléatoire

Définition. Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque éventualité de $\Omega$, associe un nombre réel. L'ensemble des valeurs prises par $X$ se note $X(\Omega)$.

Notations. Pour un réel $x$ :

• $(X = x)$ désigne l'événement « $X$ prend la valeur $x$ », c'est-à-dire l'ensemble des éventualités $\omega$ telles que $X(\omega) = x$ ; sa probabilité se note $P(X = x)$ ;
• de même pour $(X \leq x)$, $(X > x)$, $(a < X \leq b)$, etc.

Exemple 1 (un jeu, situation simplifiée). On lance un dé équilibré. Si on obtient $1$, $2$ ou $3$, on perd $100$ F ; si on obtient $4$ ou $5$, on gagne $50$ F ; si on obtient $6$, on gagne $200$ F (F désigne le franc CFA). Le gain $X$ est une variable aléatoire : $X(1) = X(2) = X(3) = -100$, $X(4) = X(5) = 50$, $X(6) = 200$, et $X(\Omega) = \{-100\,;50\,;200\}$.

5.2 Loi de probabilité

Définition. Si $X(\Omega) = \{x_1\,;x_2\,;\dots\,;x_r\}$, avec $x_1 < x_2 < \dots < x_r$, déterminer la loi de probabilité de $X$, c'est donner la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de chacune des valeurs. On la présente dans un tableau. Les événements $(X = x_i)$ forment une partition de $\Omega$, donc $p_1 + p_2 + \dots + p_r = 1.$

Méthode. 1. Lister les valeurs possibles de $X$. 2. Pour chaque valeur, trouver les éventualités qui la donnent et calculer sa probabilité. 3. Vérifier que la somme vaut $1$.

Exemple 1 (suite).

$x_i$	$-100$	$50$	$200$
$P(X = x_i)$	$\dfrac36 = \dfrac12$	$\dfrac26 = \dfrac13$	$\dfrac16$

Vérification : $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac16 = 1$.

Exemple 2. Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire simultanément $2$ boules et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. $\mathrm{card}\,\Omega = C_5^2 = 10$ et $X(\Omega) = \{0\,;1\,;2\}$.

• $P(X = 0) = \dfrac{C_2^2}{10} = \dfrac{1}{10}$ ; $P(X = 1) = \dfrac{C_3^1 \times C_2^1}{10} = \dfrac{6}{10}$ ; $P(X = 2) = \dfrac{C_3^2}{10} = \dfrac{3}{10}$.
• Vérification : $\dfrac{1 + 6 + 3}{10} = 1$.

5.3 Fonction de répartition

Définition. La fonction de répartition de $X$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = P(X \leq x).$

Calcul. $F(x)$ est la somme des probabilités des valeurs $x_i$ inférieures ou égales à $x$ :

• si $x < x_1$, aucune valeur ne convient : $F(x) = 0$ ;
• si $x_1 \leq x < x_2$ : $F(x) = p_1$ ; si $x_2 \leq x < x_3$ : $F(x) = p_1 + p_2$ ; et ainsi de suite ;
• si $x \geq x_r$ : $F(x) = 1$.

Propriétés.

• $F$ est croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[0\,;1]$.
• $F$ est constante sur chaque intervalle $[x_i\,;x_{i+1}[$ : sa courbe est en escalier. En $x_i$, elle fait un saut de hauteur $p_i$.
• Pour $a < b$ : $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ et $P(X > a) = 1 - F(a)$.

Exemple 1 (suite). Pour le jeu : $F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < -100 \\ \dfrac12 & \text{si } -100 \leq x < 50 \\ \dfrac56 & \text{si } 50 \leq x < 200 \\ 1 & \text{si } x \geq 200 \end{cases}$ En effet, pour $50 \leq x < 200$, $F(x) = P(X = -100) + P(X = 50) = \dfrac12 + \dfrac13 = \dfrac56$.

Représentation. Sur chaque intervalle, on trace un segment horizontal ; l'extrémité gauche est un point plein (la valeur est atteinte), l'extrémité droite un point creux (elle ne l'est pas).

Exemple 2 (suite). $F(x) = 0$ si $x < 0$ ; $F(x) = 0{,}1$ si $0 \leq x < 1$ ; $F(x) = 0{,}7$ si $1 \leq x < 2$ ; $F(x) = 1$ si $x \geq 2$. Par exemple $P(X > 0) = 1 - F(0) = 0{,}9$.