Probabilités conditionnelles

3.1 Définition

Activité. Une urne contient $10$ boules : $6$ rouges, dont $4$ portent le numéro $1$, et $4$ vertes, dont $1$ porte le numéro $1$. On tire une boule au hasard. Soit $R$ « la boule est rouge » et $U$ « la boule porte le numéro $1$ ». Alors $P(U) = \dfrac{5}{10} = \dfrac12$.

On apprend que la boule tirée est rouge. Il ne reste que $6$ cas possibles, dont $4$ favorables : la probabilité que la boule porte le numéro $1$ devient $\dfrac46 = \dfrac23$. On remarque que $\dfrac46 = \dfrac{4/10}{6/10} = \dfrac{P(U \cap R)}{P(R)}$.

Définition. Soit $B$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $A$ sachant $B$ est $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$ On rencontre aussi les notations $P_B(A)$ et $P(A \mid B)$.

Propriété. Pour $B$ fixé, $A \mapsto P(A/B)$ est une probabilité sur $\Omega$ : elle est comprise entre $0$ et $1$, $P(\Omega/B) = 1$ et $P(\overline{A}/B) = 1 - P(A/B).$

Attention. En général, $P(A/B) \neq P(B/A)$. Dans l'activité, $P(U/R) = \dfrac23$, mais $P(R/U) = \dfrac{P(R \cap U)}{P(U)} = \dfrac{4/10}{5/10} = \dfrac45$.

3.2 Formule des probabilités composées

En multipliant la définition par $P(B)$ (ou en échangeant les rôles) : si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, $P(A \cap B) = P(B) \times P(A/B) = P(A) \times P(B/A).$

Exemple 1. On reprend l'urne de $5$ boules rouges et $3$ vertes, et on tire successivement sans remise deux boules. Soit $R_1$ « la première est rouge » et $R_2$ « la deuxième est rouge ». Après une rouge, il reste $4$ rouges sur $7$ boules : $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2/R_1) = \frac58 \times \frac47 = \frac{5}{14}.$

3.3 Arbres pondérés

Une expérience qui se déroule en plusieurs étapes se représente par un arbre pondéré : sur chaque branche, on écrit la probabilité de l'événement au bout de la branche sachant le chemin déjà parcouru.

Règles de l'arbre.

1. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$.
2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches (formule des probabilités composées).
3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Exemple 2. Même urne, deux tirages sans remise. L'arbre a quatre chemins :

Chemin	Probabilité
$R_1$ puis $R_2$	$\dfrac58 \times \dfrac47 = \dfrac{20}{56}$
$R_1$ puis $\overline{R_2}$	$\dfrac58 \times \dfrac37 = \dfrac{15}{56}$
$\overline{R_1}$ puis $R_2$	$\dfrac38 \times \dfrac57 = \dfrac{15}{56}$
$\overline{R_1}$ puis $\overline{R_2}$	$\dfrac38 \times \dfrac27 = \dfrac{6}{56}$

La somme des quatre chemins vaut $\dfrac{56}{56} = 1$. La deuxième boule est rouge sur deux chemins : $P(R_2) = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac58.$ C'est la même probabilité que pour la première boule : sans information sur le premier tirage, le deuxième n'est ni favorisé ni défavorisé.

3.4 Formule des probabilités totales

Définition. Des événements $B_1$, $B_2$, …, $B_n$ forment une partition de $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, et si leur réunion est $\Omega$. Exemple le plus courant : $B$ et $\overline{B}$.

Théorème (formule des probabilités totales). Si $B_1$, …, $B_n$ forment une partition de $\Omega$, alors pour tout événement $A$ : $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = P(B_1)\,P(A/B_1) + P(B_2)\,P(A/B_2) + \dots + P(B_n)\,P(A/B_n).$

Démonstration. Les événements $A \cap B_i$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $A$. On ajoute leurs probabilités, puis on écrit chacune avec la formule des probabilités composées.

Sur un arbre, c'est la règle 3 : on ajoute les chemins qui mènent à $A$.

Exemple 3 (situation simplifiée). Un élève se rend au lycée en car rapide avec la probabilité $0{,}7$, sinon à pied. En car rapide, il arrive en retard avec la probabilité $0{,}2$ ; à pied, avec la probabilité $0{,}1$. Soit $C$ « il prend le car rapide » et $R$ « il est en retard ».

$C$ et $\overline{C}$ forment une partition de $\Omega$ : $P(R) = P(C)\,P(R/C) + P(\overline{C})\,P(R/\overline{C}) = 0{,}7 \times 0{,}2 + 0{,}3 \times 0{,}1 = 0{,}14 + 0{,}03 = 0{,}17.$ Il est en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait pris le car rapide ? $P(C/R) = \frac{P(C \cap R)}{P(R)} = \frac{0{,}14}{0{,}17} = \frac{14}{17} \approx 0{,}82.$