Schéma de Bernoulli et loi binomiale

7.1 Épreuve de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l'échec $\overline{S}$, de probabilité $q = 1 - p$.

Exemples : lancer une pièce (succès : pile, $p = \frac12$) ; lancer un dé (succès : obtenir $6$, $p = \frac16$) ; répondre au hasard à une question à $4$ propositions dont une seule est juste (succès : bonne réponse, $p = \frac14$).

7.2 Schéma de Bernoulli

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $p$.

On s'intéresse au nombre de succès $X$, qui prend les valeurs $0$, $1$, …, $n$.

Exemple ($n = 3$). On représente les trois épreuves par un arbre à $2^3 = 8$ chemins. Chaque branche « succès » porte $p$, chaque branche « échec » porte $q$ (les épreuves sont indépendantes).

• Un chemin avec $2$ succès et $1$ échec a pour probabilité $p^2 q$, quel que soit l'ordre.
• Il y a $3$ tels chemins : $SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$, $\overline{S}SS$. C'est le nombre de façons de choisir les $2$ épreuves réussies parmi $3$, soit $C_3^2 = 3$.
• Donc $P(X = 2) = C_3^2\,p^2 q = 3p^2 q$.

7.3 Loi binomiale

Théorème. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $P(X = k) = C_n^k\,p^k\,(1-p)^{n-k}, \qquad k \in \{0\,;1\,;\dots\,;n\}.$

Démonstration. Un chemin de l'arbre qui comporte $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k q^{n-k}$ (produit des branches, épreuves indépendantes). Un tel chemin est déterminé par le choix des $k$ épreuves réussies parmi les $n$ : il y en a $C_n^k$. On ajoute leurs probabilités.

Vérification. D'après la formule du binôme de Newton, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k\,p^k q^{n-k} = (p + q)^n = 1^n = 1$.

Cas particuliers à connaître. $P(X = 0) = q^n$ (aucun succès), $P(X = n) = p^n$, et $P(X \geq 1) = 1 - q^n$.

Exemple 1 (QCM au hasard). Un QCM comporte $5$ questions, chacune avec $4$ propositions dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question. Les réponses sont indépendantes, donc le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal{B}\big(5\,;\frac14\big)$.

• $P(X = 0) = \left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1\,024} \approx 0{,}237$.
• $P(X = 2) = C_5^2 \left(\dfrac14\right)^2 \left(\dfrac34\right)^3 = 10 \times \dfrac{1}{16} \times \dfrac{27}{64} = \dfrac{135}{512} \approx 0{,}264$.
• $P(X \geq 1) = 1 - \dfrac{243}{1\,024} = \dfrac{781}{1\,024} \approx 0{,}763$.

Loi complète (valeurs arrondies au millième) :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = k)$	$0{,}237$	$0{,}396$	$0{,}264$	$0{,}088$	$0{,}015$	$0{,}001$

Exemple 2 (situation simplifiée). Un sachet de graines annonce un taux de germination de $80\,\%$. On sème $4$ graines, qui germent indépendamment les unes des autres. Le nombre $Y$ de graines qui germent suit $\mathcal{B}(4\,;0{,}8)$ : $P(Y = 4) = 0{,}8^4 = 0{,}4096$ ; $P(Y = 3) = C_4^3 \times 0{,}8^3 \times 0{,}2 = 0{,}4096$ ; donc $P(Y \geq 3) = 0{,}8192$.

7.4 Espérance et variance d'une loi binomiale

Propriété (admise). Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;p)$ : $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.$

Vérification pour $n = 1$. $X$ vaut $1$ avec la probabilité $p$ et $0$ avec la probabilité $q$ : $E(X) = p$, $E(X^2) = p$, $V(X) = p - p^2 = pq$.

Exemple 1 (suite). $E(X) = 5 \times \dfrac14 = 1{,}25$ : en répondant au hasard, on obtient en moyenne $1{,}25$ bonne réponse sur $5$. $V(X) = 5 \times \dfrac14 \times \dfrac34 = \dfrac{15}{16}$.