Logarithme, exponentielle et puissances

1. Question 1 sur 15$\ln 12 - \ln 3 =$

   A $\ln 9$ B $2\ln 2$ C $\dfrac{\ln 12}{\ln 3}$ D $4$

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   Réponse B. $\ln 12 - \ln 3 = \ln\frac{12}{3} = \ln 4 = 2\ln 2$ . La réponse C confond la différence des logarithmes avec leur quotient.

2. Question 2 sur 15La fonction $x \mapsto \ln(2 - x)$ est définie sur

   A $]2;+\infty[$ B $]-\infty;2[$ C $\mathbb{R}$ D $]0;+\infty[$

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   Réponse B. Il faut $2 - x > 0$ , c'est-à-dire $x < 2$ .

3. Question 3 sur 15L'ensemble des solutions de $\ln x + \ln(x+1) = \ln 6$ est

   A $\{2\}$ B $\{-3;2\}$ C $\{-3\}$ D $\varnothing$

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   Réponse A. Il faut $x > 0$ . Alors $x(x+1) = 6$ , soit $x = 2$ ou $x = -3$ , et $-3$ est exclu.

4. Question 4 sur 15$\displaystyle\lim_{x\to0^+} x\ln x =$

   A $-\infty$ B $0$ C $1$ D $+\infty$

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   Réponse B. C'est une limite usuelle : en $0^+$ , $x$ l'emporte sur $\ln x$ .

5. Question 5 sur 15La tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $1$ a pour équation

   A $y = x$ B $y = x - 1$ C $y = x + 1$ D $y = \frac{x}{e}$

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   Réponse B. $\ln 1 = 0$ et $\ln'(1) = 1$ . La réponse D est la tangente au point d'abscisse $e$ .

6. Question 6 sur 15La dérivée de $x \mapsto \ln(x^2+1)$ est

   A $\dfrac{1}{x^2+1}$ B $\dfrac{2x}{x^2+1}$ C $2x\ln(x^2+1)$ D $\dfrac{2}{x}$

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   Réponse B. $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1$ .

7. Question 7 sur 15Une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x+2}$ sur $]-2;+\infty[$ est

   A $\ln(x+2)$ B $-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ C $\dfrac{1}{\ln(x+2)}$ D $e^{x+2}$

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   Réponse A. C'est une forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = x + 2 > 0$ .

8. Question 8 sur 15$e^{\ln 5} + \ln(e^2) =$

   A $10$ B $7$ C $5e^2$ D $5 + e^2$

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   Réponse B. $e^{\ln 5} = 5$ et $\ln(e^2) = 2$ .

9. Question 9 sur 15La solution de $e^{2x} = 3$ est

   A $\dfrac{\ln 3}{2}$ B $\ln\dfrac32$ C $2\ln 3$ D $\dfrac{e^3}{2}$

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   Réponse A. $2x = \ln 3$ .

10. Question 10 sur 15$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^x =$

    A $-\infty$ B $0$ C $1$ D $+\infty$

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    Réponse B. L'axe des abscisses est asymptote à la courbe de $\exp$ en $-\infty$ .

11. Question 11 sur 15La dérivée de $x \mapsto e^{-x^2}$ est

    A $e^{-x^2}$ B $-2x\,e^{-x^2}$ C $-x^2e^{-x^2-1}$ D $2x\,e^{-x^2}$

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    Réponse B. $(e^u)' = u'e^u$ avec $u = -x^2$ , $u' = -2x$ .

12. Question 12 sur 15$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2e^{-x} =$

    A $0$ B $1$ C $+\infty$ D on ne peut pas conclure

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    Réponse A. Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ .

13. Question 13 sur 15Une primitive de $x \mapsto e^{3x}$ sur $\mathbb{R}$ est

    A $3e^{3x}$ B $\dfrac13\,e^{3x}$ C $e^{3x}$ D $\dfrac{e^{3x+1}}{3x+1}$

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    Réponse B. La dérivée de $\frac13 e^{3x}$ est $\frac13 \times 3e^{3x} = e^{3x}$ .

14. Question 14 sur 15$8^{\frac23} =$

    A $\dfrac{16}{3}$ B $4$ C $2$ D $16$

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    Réponse B. $8^{\frac23} = \left(8^{\frac13}\right)^2 = 2^2 = 4$ . La réponse A calcule à tort $8 \times \frac23$ .

15. Question 15 sur 15$\log 0{,}001 =$

    A $-3$ B $3$ C $-2$ D $0{,}001\ln 10$

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    Réponse A. $0{,}001 = 10^{-3}$ , et $\log(10^n) = n$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.