Logarithme, exponentielle et puissances

Leçon 1 : La fonction logarithme népérien

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1.1 Définition

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est continue sur l'intervalle $]0;+\infty[$. Elle y admet donc des primitives (chapitre 2), et une seule d'entre elles prend la valeur $0$ en $1$.

Définition (programme officiel). La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive sur $]0;+\infty[$ de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$.

Cette définition contient trois informations :

• $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ : $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ ;
• $\ln 1 = 0$ ;
• $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.

1.2 Premières conséquences

• $\ln$ est dérivable, donc continue sur $]0;+\infty[$.
• Pour $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac1x > 0$ : $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
• Comme $\ln 1 = 0$, on en déduit le signe de $\ln x$ :

Comparer deux logarithmes. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b \qquad\qquad \ln a < \ln b \iff a < b.$

1.3 La propriété fondamentale

Théorème. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b.$

Démonstration. On fixe $a > 0$ et on pose $g(x) = \ln(ax)$ pour $x > 0$. La fonction $g$ est dérivable (composée) et $g'(x) = a \times \frac{1}{ax} = \frac1x.$ Les fonctions $g$ et $\ln$ sont donc deux primitives de $x \mapsto \frac1x$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ : il existe une constante $C$ telle que $\ln(ax) = \ln x + C$ pour tout $x > 0$. Pour $x = 1$, on obtient $\ln a = 0 + C$, donc $C = \ln a$. Ainsi $\ln(ax) = \ln x + \ln a$, et il suffit de prendre $x = b$.

Conséquences. Pour tous réels $a > 0$, $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :

Exemple 1. Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres $\ln 72$, $\ln\frac49$ et $\ln\sqrt6$.

• $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$, donc $\ln 72 = 3\ln 2 + 2\ln 3$.
• $\ln\dfrac49 = \ln(2^2) - \ln(3^2) = 2\ln 2 - 2\ln 3$.
• $\ln\sqrt6 = \dfrac12\ln 6 = \dfrac12(\ln 2 + \ln 3)$.

Attention. Il n'existe aucune formule pour $\ln(a+b)$. Et $\ln(a^2) = 2\ln a$ n'est vrai que pour $a > 0$ : pour tout $a \neq 0$, on a $\ln(a^2) = 2\ln|a|$.

1.4 Équations et inéquations

Méthode.

1. On cherche l'ensemble $D$ des réels pour lesquels tous les logarithmes de l'énoncé existent (chaque expression sous un $\ln$ doit être strictement positive).
2. Sur $D$, on transforme l'écriture avec les propriétés algébriques pour obtenir $\ln A = \ln B$ ou $\ln A < \ln B$.
3. On utilise $\ln A = \ln B \iff A = B$ et $\ln A < \ln B \iff A < B$.
4. On ne garde que les solutions qui appartiennent à $D$.

Exemple 2. Résoudre $\ln(x-1) + \ln(x+1) = \ln 3$.

Ensemble de résolution. Il faut $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$, soit $x > 1$ : $D = \,]1;+\infty[$.

Résolution. Pour $x \in D$, l'équation s'écrit $\ln\big((x-1)(x+1)\big) = \ln 3$, soit $x^2 - 1 = 3$, c'est-à-dire $x^2 = 4$. On trouve $x = 2$ ou $x = -2$.

Tri. $-2 \notin D$. Donc $S = \{2\}$.

Piège classique. Écrire d'emblée $\ln(x^2-1) = \ln 3$ ferait apparaître la « solution » $-2$, alors que $\ln(-2-1)$ n'existe pas. On cherche toujours $D$ avant de transformer.

Exemple 3. Résoudre $\ln(2x-4) \leq 0$.

Il faut $2x - 4 > 0$, soit $x > 2$. Comme $0 = \ln 1$, l'inéquation s'écrit $\ln(2x-4) \leq \ln 1$, soit $2x - 4 \leq 1$, c'est-à-dire $x \leq \frac52$. Donc $S = \left]2;\frac52\right]$.

Exemple 4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $2^n > 1000$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc $2^n > 1000 \iff \ln(2^n) > \ln 1000 \iff n\ln 2 > \ln 1000 \iff n > \dfrac{\ln 1000}{\ln 2}$, car $\ln 2 > 0$. Or $\dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$. Le plus petit entier est donc $n = 10$. Vérification : $2^9 = 512$ et $2^{10} = 1024$.

Leçon 2 : Étude de la fonction logarithme népérien

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Limites aux bornes

Propriété. $\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to0^+} \ln x = -\infty.$

Justification.

• En $+\infty$ : $\ln 2 > 0$, et $\ln(2^n) = n\ln 2$ devient aussi grand qu'on veut quand l'entier $n$ grandit. Comme $\ln$ est croissante, $\ln x$ dépasse n'importe quel nombre dès que $x$ est assez grand.
• En $0^+$ : pour $x > 0$, $\ln x = -\ln\dfrac1x$. Quand $x \to 0^+$, $\dfrac1x \to +\infty$, donc $\ln\dfrac1x \to +\infty$ et $\ln x \to -\infty$.

Conséquence graphique. L'axe des ordonnées (la droite $x = 0$) est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.

Outil : le changement de variable (admis). Si $X = u(x)$ tend vers $b$ quand $x$ tend vers $a$, et si $g(X)$ tend vers $\ell$ quand $X$ tend vers $b$, alors $g\big(u(x)\big)$ tend vers $\ell$ ($a$, $b$, $\ell$ réels ou infinis). C'est le théorème de la limite d'une composée du chapitre 1, sous sa forme générale. On l'utilise sous la forme « on pose $X = \dots$ ».

2.2 Le nombre $e$

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$, avec des limites $-\infty$ et $+\infty$ aux bornes. D'après le théorème de la bijection (chapitre 1), $\ln$ est une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $k$, l'équation $\ln x = k$ a une unique solution dans $]0;+\infty[$.

Définition. On note $e$ l'unique réel tel que $\ln e = 1$. On a $e \approx 2{,}718$.

Conséquences. $\ln(e^n) = n\ln e = n$ pour tout entier relatif $n$, et $\ln\sqrt e = \frac12$.

Exemple. $\ln x < 1 \iff \ln x < \ln e \iff 0 < x < e$. Et $\ln x = 2 \iff \ln x = \ln(e^2) \iff x = e^2$.

2.3 Courbe représentative

Deux tangentes à connaître.

• Au point d'abscisse $1$ : $y = \ln'(1)(x - 1) + \ln 1$, soit $y = x - 1$.
• Au point d'abscisse $e$ : $y = \frac1e(x - e) + 1$, soit $y = \dfrac{x}{e}$. Cette tangente passe par l'origine.

Propriété. Pour tout $x > 0$, $\ln x \leq x - 1$ : la courbe de $\ln$ est au-dessous de sa tangente en $1$.

Démonstration. Soit $h(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0;+\infty[$. On a $h'(x) = 1 - \frac1x = \frac{x-1}{x}$, négatif sur $]0;1]$ et positif sur $[1;+\infty[$. La fonction $h$ admet donc un minimum en $1$, égal à $h(1) = 0$. Ainsi $h(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$.

2.4 Limites usuelles

Théorème. $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0^+} x\ln x = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.$

Démonstrations.

• En $+\infty$. On applique $\ln t \leq t - 1 < t$ à $t = \sqrt x$ : $\ln\sqrt x < \sqrt x$, soit $\frac12\ln x < \sqrt x$, donc $\ln x < 2\sqrt x$ pour tout $x > 0$. Pour $x > 1$, on a donc $0 < \frac{\ln x}{x} < \frac{2\sqrt x}{x} = \frac{2}{\sqrt x}.$ Comme $\frac{2}{\sqrt x} \to 0$, le théorème des gendarmes donne $\frac{\ln x}{x} \to 0$.
• En $0^+$. On pose $X = \frac1x$, qui tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$. Alors $x\ln x = \frac1X \times(-\ln X) = -\frac{\ln X}{X} \to 0$.
• En $0$. $\dfrac{\ln(1+x)}{x} = \dfrac{\ln(1+x) - \ln 1}{x}$ est le taux d'accroissement de $\ln$ entre $1$ et $1+x$. Sa limite est le nombre dérivé $\ln'(1) = 1$.

À retenir. En $+\infty$, « $x$ l'emporte sur $\ln x$ ». Plus généralement, pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\to0^+} x^n\ln x = 0,$ car $\dfrac{\ln x}{x^n} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x^{n-1}}$ et $x^n\ln x = x^{n-1} \times x\ln x$. La leçon 5 étend ces résultats aux exposants rationnels.

Exemple 5. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x - \ln x)$.

C'est une forme $\infty - \infty$. On factorise par le terme qui l'emporte : $x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$. Comme $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$, la parenthèse tend vers $1$, et la limite vaut $+\infty$.

Exemple 6. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+2x)}{x}$.

On écrit $\dfrac{\ln(1+2x)}{x} = 2 \times \dfrac{\ln(1+2x)}{2x}$. On pose $X = 2x$, qui tend vers $0$ : $\dfrac{\ln(1+X)}{X} \to 1$. La limite vaut donc $2$.

Branche infinie. Comme $\frac{\ln x}{x} \to 0$, la courbe de $\ln$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$ (méthode du chapitre 1) : elle monte, mais de plus en plus lentement.

2.5 Dérivée de $\ln u$ et primitives de $\frac{u'}{u}$

Propriété. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $u > 0$ sur $I$, alors $\ln u$ est dérivable sur $I$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Si $u$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\ln|u|$ est dérivable sur $I$ et $(\ln|u|)' = \dfrac{u'}{u}$.

Justification du second point quand $u < 0$ : $\ln|u| = \ln(-u)$, de dérivée $\dfrac{-u'}{-u} = \dfrac{u'}{u}$. En particulier, $x \mapsto \ln|x|$ a pour dérivée $\frac1x$ sur $]-\infty;0[$ comme sur $]0;+\infty[$.

Primitives. Si $u$ est dérivable sur $I$, de dérivée continue, et ne s'annule pas sur $I$, les primitives de $\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto \ln|u(x)| + C, \qquad C \in \mathbb{R}.$

Exemple 7. Une primitive de $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$.

On fait apparaître $u'$ : avec $u(x) = x^2 + 1$, $u'(x) = 2x$, et $f = \dfrac12 \times \dfrac{u'}{u}$. Comme $u > 0$, une primitive est $F(x) = \dfrac12\ln(x^2+1)$.

Exemple 8. Sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = -\dfrac{(\cos x)'}{\cos x}$, avec $\cos x > 0$. Une primitive de $\tan$ est $x \mapsto -\ln(\cos x)$.

Sur $]1;+\infty[$, $\dfrac{1}{x\ln x} = \dfrac{\frac1x}{\ln x} = \dfrac{u'}{u}$ avec $u = \ln x > 0$. Une primitive est $x \mapsto \ln(\ln x)$.

2.6 Exemple d'étude

Exemple 9. Étudier $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0;+\infty[$.

Limites. En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\frac1x \to +\infty$, donc $f(x) \to -\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée). L'axe des ordonnées est asymptote verticale. En $+\infty$ : $f(x) \to 0$ (limite usuelle). L'axe des abscisses est asymptote horizontale.

Dérivée. $f'(x) = \dfrac{\frac1x \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, du signe de $1 - \ln x$ : positive sur $]0;e[$, négative sur $]e;+\infty[$.

Variations. $f$ est croissante sur $]0;e]$, décroissante sur $[e;+\infty[$, avec un maximum $f(e) = \dfrac1e \approx 0{,}37$.

Signe. $f(x)$ a le signe de $\ln x$ : la courbe coupe l'axe des abscisses au point $(1\,;0)$.

Leçon 3 : La fonction exponentielle

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Définition

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$, et c'est une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ (leçon 2).

Définition (programme officiel). La fonction exponentielle, notée $\exp$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

L'équivalence à connaître par cœur : $y = \exp(x) \text{ et } x \in \mathbb{R} \iff x = \ln y \text{ et } y > 0.$

Conséquences immédiates.

• $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $\exp(x) > 0$ pour tout réel $x$.
• $\ln\big(\exp(x)\big) = x$ pour tout réel $x$, et $\exp(\ln y) = y$ pour tout $y > 0$.
• $\exp(0) = 1$, car $\ln 1 = 0$ ; et $\exp(1) = e$, car $\ln e = 1$.
• D'après le chapitre 1, $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, comme $\ln$.
• Dans un repère orthonormé, sa courbe est la symétrique de celle de $\ln$ par rapport à la droite $y = x$.

3.2 Propriétés algébriques

Théorème. Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b).$

Démonstration. $\ln\big(\exp(a)\times\exp(b)\big) = \ln\exp(a) + \ln\exp(b) = a + b = \ln\big(\exp(a+b)\big)$. Comme deux nombres strictement positifs qui ont le même logarithme sont égaux, $\exp(a)\times\exp(b) = \exp(a+b)$.

Conséquences. Pour tous réels $a$, $b$ et tout entier relatif $n$ : $\exp(-a) = \frac{1}{\exp(a)} \qquad \exp(a - b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)} \qquad \exp(na) = \big(\exp(a)\big)^n.$

3.3 La notation $e^x$

Pour tout entier relatif $n$, $\exp(n) = \exp(n \times 1) = \big(\exp(1)\big)^n = e^n$. On démontrera à la leçon 5 que, plus généralement, $\exp(r) = e^r$ pour tout rationnel $r$. Cela justifie la notation suivante.

Notation. Pour tout réel $x$, on note $\exp(x) = e^x$. On lit « exponentielle de $x$ ».

Les règles de calcul ont alors la forme des règles sur les puissances :

3.4 Dérivée

Théorème. La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp' = \exp$ : $(e^x)' = e^x.$

Démonstration. $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, strictement monotone, et sa dérivée $\frac1y$ ne s'annule pas. D'après le théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque (chapitre 2), $\exp$ est dérivable et $\exp'(x) = \frac{1}{\ln'\big(\exp(x)\big)} = \frac{1}{\;\frac{1}{\exp(x)}\;} = \exp(x).$

Conséquences. Comme $e^x > 0$, on retrouve que $\exp$ est strictement croissante. En dérivant plusieurs fois : la dérivée $n$-ième de $x \mapsto e^x$ est $x \mapsto e^x$. Enfin, $x \mapsto e^x$ est une primitive d'elle-même sur $\mathbb{R}$.

3.5 Limites et courbe

Propriété. $\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to-\infty} e^x = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.$

Justification.

• En $+\infty$ : pour tout réel $A > 0$, $e^x > A \iff x > \ln A$. Donc $e^x$ dépasse n'importe quel nombre dès que $x$ est assez grand.
• En $-\infty$ : $e^x = \dfrac{1}{e^{-x}}$, et $e^{-x} \to +\infty$ quand $x \to -\infty$. Donc $e^x \to 0$.
• En $0$ : $\dfrac{e^x - 1}{x} = \dfrac{e^x - e^0}{x - 0}$ tend vers le nombre dérivé $\exp'(0) = e^0 = 1$.

Conséquence graphique. L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de $\exp$ en $-\infty$.

Tangente en $0$. $y = e^0(x - 0) + e^0$, soit $y = x + 1$.

Propriété. Pour tout réel $x$, $e^x \geq x + 1$.

Démonstration. Soit $k(x) = e^x - x - 1$. On a $k'(x) = e^x - 1$, négatif pour $x \leq 0$ et positif pour $x \geq 0$. Donc $k$ admet un minimum en $0$, égal à $k(0) = 0$, et $k(x) \geq 0$ pour tout réel $x$.

3.6 Équations et inéquations

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^a = e^b \iff a = b$, et $e^a < e^b \iff a < b$. Pour tout réel $k > 0$ : $e^x = k \iff x = \ln k$. Si $k \leq 0$, l'équation $e^x = k$ n'a aucune solution.

Exemple 10. Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

On pose $X = e^x$, avec $X > 0$. Comme $e^{2x} = (e^x)^2$, l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$, dont les racines sont $X = 1$ et $X = 2$, toutes deux strictement positives.

• $e^x = 1 \iff x = 0$ ;
• $e^x = 2 \iff x = \ln 2$.

Donc $S = \{0\,;\ln 2\}$.

Exemple 11. Résoudre $e^{3x-1} > 2$.

$2 = e^{\ln 2}$, donc l'inéquation s'écrit $e^{3x-1} > e^{\ln 2}$, soit $3x - 1 > \ln 2$, c'est-à-dire $x > \dfrac{1 + \ln 2}{3}$. Donc $S = \left]\dfrac{1+\ln 2}{3};+\infty\right[$.

Leçon 4 : Exponentielle, composées, croissances comparées et primitives

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Dérivée de $e^u$

Propriété. Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et $\left(e^{u}\right)' = u'\,e^{u}.$

Exemples. $\left(e^{x^2}\right)' = 2x\,e^{x^2}$ ; $\quad \left(e^{-3x}\right)' = -3e^{-3x}$ ; $\quad$ pour tout réel $a$, $\left(e^{ax}\right)' = a\,e^{ax}$.

Dérivées successives. En dérivant $n$ fois, la dérivée $n$-ième de $x \mapsto e^{ax}$ est $x \mapsto a^n e^{ax}$.

4.2 Primitives de $u'e^u$

Propriété. Si $u$ est dérivable sur $I$, de dérivée continue, les primitives de $u'e^u$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto e^{u(x)} + C$, $C \in \mathbb{R}$.

En particulier, pour $a \neq 0$, une primitive de $x \mapsto e^{ax+b}$ est $x \mapsto \dfrac1a\,e^{ax+b}$.

Exemple 12. Une primitive de $f(x) = x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$.

Avec $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$, donc $f = \dfrac12\,u'e^u$. Une primitive est $F(x) = \dfrac12\,e^{x^2}$.

De même, une primitive de $x \mapsto e^{2x+1}$ est $x \mapsto \dfrac12\,e^{2x+1}$.

4.3 Croissances comparées

Théorème. Pour tout entier $n \geq 1$ : $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = 0 \qquad \lim_{x\to-\infty} x\,e^x = 0 \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0.$

À retenir. À l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.

Démonstrations.

• On a vu que $\ln t < 2\sqrt t$ pour tout $t > 0$ (leçon 2). Avec $t = e^x$ : $x < 2\sqrt{e^x} = 2e^{x/2}$. Pour $x > 0$, en élevant au carré deux nombres positifs, $x^2 < 4e^x$, donc $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{4}$. Comme $\frac x4 \to +\infty$, on obtient $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$ (théorème de minoration).
• $\dfrac{e^x}{x^n} = \left(\dfrac{e^{x/n}}{x}\right)^n = \dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{e^{X}}{X}\right)^n$ avec $X = \frac xn \to +\infty$. Donc $\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty$, puis $x^n e^{-x} = \dfrac{1}{e^x/x^n} \to 0$.
• En $-\infty$, on pose $X = -x \to +\infty$ : $x\,e^x = -X e^{-X} = -\dfrac{X}{e^X} \to 0$, et de même $x^n e^x = (-1)^n X^n e^{-X} \to 0$.

Exemple 13. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (e^x - x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (x^2+1)\,e^{-x}$.

• Forme $\infty - \infty$. On factorise par $x$ : $e^x - x = x\left(\dfrac{e^x}{x} - 1\right)$. La parenthèse tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $+\infty$.
• $(x^2+1)e^{-x} = x^2e^{-x} + e^{-x}$. Les deux termes tendent vers $0$, donc la limite vaut $0$.

4.4 Exemple d'étude

Exemple 14. Étudier $f(x) = x\,e^x$ sur $\mathbb{R}$.

Limites. En $-\infty$ : $x\,e^x \to 0$ (croissance comparée). L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$. En $+\infty$ : $x \to +\infty$ et $e^x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$.

Dérivée. $f'(x) = 1 \times e^x + x\,e^x = (x+1)\,e^x$, du signe de $x + 1$ puisque $e^x > 0$.

Variations. $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1]$ et croissante sur $[-1;+\infty[$. Son minimum est $f(-1) = -e^{-1} = -\dfrac1e \approx -0{,}37$.

Branche infinie en $+\infty$. $\dfrac{f(x)}{x} = e^x \to +\infty$ : branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$.

Leçon 5 : Fonctions puissances et logarithme décimal

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Rappels du chapitre 2

La racine $n$-ième, les puissances d'exposant rationnel et leur dérivée ont été définies au chapitre 2. On les rappelle brièvement.

• Racine $n$-ième ($n \geq 2$ entier). C'est la réciproque de la bijection $x \mapsto x^n$ de $[0;+\infty[$ sur $[0;+\infty[$ : pour $y \geq 0$, $y^{\frac1n}$ est l'unique réel $x \geq 0$ tel que $x^n = y$. Par exemple, $8^{\frac13} = 2$ et $81^{\frac14} = 3$.
• Puissance rationnelle. Pour $x > 0$ et $r = \dfrac pq$ ($p$ entier relatif, $q$ entier naturel non nul), $x^r = \left(x^{\frac1q}\right)^p$. Les règles de calcul des puissances entières restent vraies (admis). Par exemple, $4^{\frac32} = \left(4^{\frac12}\right)^3 = 2^3 = 8$.
• Dérivée. $(x^r)' = r\,x^{r-1}$ sur $]0;+\infty[$, et $(u^r)' = r\,u'\,u^{r-1}$ si $u > 0$.

Ce chapitre apporte trois nouveautés : le lien avec $\ln$ et $\exp$, les variations et limites des fonctions puissances, et les croissances comparées.

5.2 Lien avec $\ln$ et $\exp$

Propriété. Pour tout $x > 0$ et tout rationnel $r$ : $\ln(x^r) = r\ln x \qquad \text{donc} \qquad x^r = e^{r\ln x}.$

Démonstration. Soit $q \geq 1$ entier. Comme $\left(x^{\frac1q}\right)^q = x$, on a $q\ln\left(x^{\frac1q}\right) = \ln x$, donc $\ln\left(x^{\frac1q}\right) = \frac1q\ln x$. Puis, pour $p$ entier relatif, $\ln\left(\left(x^{\frac1q}\right)^p\right) = p \times \frac1q\ln x = \frac pq\ln x$. Enfin $x^r = e^{\ln(x^r)} = e^{r\ln x}$.