Limites et continuité

1. Question 1 sur 19$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2+1}{2x^2-x} =$

   A $0$ B $\frac32$ C $+\infty$ D $3$

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   Réponse B. À l'infini, une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré : $\frac{3x^2}{2x^2} = \frac32$ .

2. Question 2 sur 19$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x^2+3x}{x} =$

   A $0$ B $3$ C $+\infty$ D n'existe pas

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   Réponse B. Pour $x \neq 0$ , $\frac{x^2+3x}{x} = x + 3$ , qui tend vers $3$ .

3. Question 3 sur 19Si, pour tout $x > 0$ , $|f(x) - 2| \leq \frac1x$ , alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) =$

   A $0$ B $1$ C $2$ D on ne peut pas conclure

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   Réponse C. L'écart entre $f(x)$ et $2$ est majoré par $\frac1x$ , qui tend vers $0$ .

4. Question 4 sur 19Si, pour tout réel $x$ , $f(x) \geq x^2 - 5$ , alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) =$

   A $+\infty$ B $-5$ C $0$ D on ne peut pas conclure

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   Réponse A. $f$ est minorée par une fonction qui tend vers $+\infty$ (théorème de minoration).

5. Question 5 sur 19Soit $f(x) = 3x - 1 + \dfrac{2}{x+1}$ . En $+\infty$ , $\mathcal{C}_f$ a pour asymptote la droite

   A $y = 3x$ B $y = 3x - 1$ C $y = 2$ D $x = -1$

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   Réponse B. $f(x) - (3x-1) = \frac{2}{x+1} \to 0$ . La droite $x = -1$ est aussi asymptote, mais verticale, en $-1$ et non en $+\infty$ .

6. Question 6 sur 19En $+\infty$ , $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = +\infty$ . La courbe de $f$ a

   A une branche parabolique de direction $(Ox)$ B une branche parabolique de direction $(Oy)$ C une asymptote oblique D une asymptote horizontale

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   Réponse B. C'est le cas de la parabole $y = x^2$ : $\frac{x^2}{x} = x \to +\infty$ .

7. Question 7 sur 19En $+\infty$ , $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{x} = 2$ et $\displaystyle\lim \big[f(x) - 2x\big] = -3$ . Alors

   A $y = 2x - 3$ est asymptote B $y = -3$ est asymptote C il y a une branche parabolique de direction $y = 2x$ D $y = 2x + 3$ est asymptote

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   Réponse A. Étape 1 : $a = 2$ . Étape 2 : $b = -3$ . L'asymptote est $y = ax + b$ .

8. Question 8 sur 19$f(x) = \dfrac{x^2-9}{x-3}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ est prolongeable par continuité en $3$ en posant $f(3) =$

   A $0$ B $3$ C $6$ D elle n'est pas prolongeable

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   Réponse C. Pour $x \neq 3$ , $f(x) = x + 3$ , qui tend vers $6$ .

9. Question 9 sur 19$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{4x+1}{x+5}} =$

   A $4$ B $2$ C $+\infty$ D $1$

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   Réponse B. L'intérieur tend vers $4$ , et la racine carrée est continue en $4$ : la limite vaut $\sqrt4 = 2$ .

10. Question 10 sur 19$f$ est continue sur $[1;3]$ , avec $f(1) = -2$ et $f(3) = 5$ . Qu'est-ce qui est certain ?

    A $f$ s'annule exactement une fois sur $[1;3]$ B $f$ s'annule au moins une fois sur $]1;3[$ C $f$ est croissante sur $[1;3]$ D $f(2) > 0$

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    Réponse B. C'est le théorème des valeurs intermédiaires. Pour affirmer « exactement une fois », il faudrait que $f$ soit strictement monotone.

11. Question 11 sur 19$f$ est continue et strictement décroissante sur $[0;4]$ , avec $f(0) = 3$ et $f(4) = -1$ . L'image de $[0;4]$ est

    A $[3;-1]$ B $[-1;3]$ C $]-1;3[$ D $[0;4]$

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    Réponse B. On range les bornes dans l'ordre croissant. Elles sont atteintes, donc les crochets sont fermés. La réponse A n'est pas un intervalle correctement écrit.

12. Question 12 sur 19L'image de $[-2;1]$ par $x \mapsto x^2$ est

    A $[1;4]$ B $[0;4]$ C $[0;1]$ D $[-2;1]$

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    Réponse B. La fonction n'est pas monotone sur $[-2;1]$ : elle descend de $4$ à $0$ (en $x = 0$ ), puis remonte jusqu'à $1$ .

13. Question 13 sur 19$f$ est continue et strictement croissante de $I$ sur $J$ . Sa réciproque $f^{-1}$ est

    A strictement décroissante B strictement croissante C pas forcément monotone D égale à $\frac1f$

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    Réponse B. La réciproque a le même sens de variation que $f$ . Attention : $f^{-1}$ n'a rien à voir avec $\frac1f$ .

14. Question 14 sur 19Dans un repère orthonormé, les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport

    A à l'axe $(Ox)$ B à l'axe $(Oy)$ C à la droite $y = x$ D à l'origine

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    Réponse C. Le point $(x\,;\,y)$ devient le point $(y\,;\,x)$ .

15. Question 15 sur 19$f(x) = 2x + 3$ sur $\mathbb{R}$ . Alors $f^{-1}(x) =$

    A $\frac{x-3}{2}$ B $\frac{1}{2x+3}$ C $2x - 3$ D $\frac{x+3}{2}$

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    Réponse A. $y = 2x + 3 \iff x = \frac{y-3}{2}$ .

16. Question 16 sur 19$\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin(5x)}{x} =$

    A $0$ B $1$ C $5$ D $\frac15$

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    Réponse C. $\frac{\sin(5x)}{x} = 5 \times \frac{\sin(5x)}{5x}$ , et $\frac{\sin(5x)}{5x} \to 1$ par composée.

17. Question 17 sur 19$f(x) = x^2 + a$ si $x \leq 2$ , $f(x) = 3x - 1$ si $x > 2$ . $f$ est continue en $2$ si et seulement si $a =$

    A $1$ B $5$ C $-1$ D $3$

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    Réponse A. À gauche, on obtient $4 + a$ . À droite, $3 \times 2 - 1 = 5$ . Il faut $4 + a = 5$ .

18. Question 18 sur 19$f$ est croissante sur $]0;+\infty[$ et majorée par $7$ . Alors, en $+\infty$ ,

    A $f$ a une limite finie inférieure ou égale à $7$ B $\lim f = 7$ C $\lim f = +\infty$ D $f$ n'a pas de limite

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    Réponse A. C'est le théorème des fonctions monotones bornées. Rien ne dit que la limite vaut exactement $7$ .

19. Question 19 sur 19L'image d'un segment $[a;b]$ par une fonction continue sur $[a;b]$ est toujours

    A un segment B un intervalle ouvert C l'intervalle d'extrémités $f(a)$ et $f(b)$ D un ensemble qui peut ne pas être un intervalle

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    Réponse A. C'est le théorème de l'image d'un segment. La réponse C n'est vraie que si $f$ est monotone.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.