Devoir sur 20 : Suites

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (7 points)

Montrer par récurrence que, pour tout entier $n \geq 1$ , $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ . (1,5 point)
Déterminer la limite de chaque suite. (3 points) a. $a_n = \dfrac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1}$ b. $b_n = \sqrt{n + 3} - \sqrt n$ (on pourra utiliser l'expression conjuguée) c. $c_n = n^2\,e^{-n}$ d. $d_n = \dfrac{3 + (-1)^n}{n}$ , pour $n \geq 1$ (on pourra encadrer $d_n$ )
$(v_n)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $\dfrac12$ . (2,5 points) a. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ , puis donner la limite de $(v_n)$ . b. Montrer que $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = 10\left(1 - \left(\dfrac12\right)^{n+1}\right)$ . c. Déterminer la limite de $(S_n)$ .

Exercice 2 (13 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{5x + 4}{x + 2}$ , et la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Partie A

Calculer $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ . Calculer $f(1)$ et $f(4)$ . (1 point)
Calculer $u_1$ et $u_2$ . (1 point)
Montrer par récurrence que $1 \leq u_n \leq 4$ pour tout $n$ . (1,5 point)
Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante. (1,5 point)
En déduire que $(u_n)$ converge. (1 point)
Déterminer sa limite. (2 points)

Partie B

On pose $v_n = \dfrac{u_n - 4}{u_n + 1}$ pour tout $n$ .

Calculer $v_0$ . (0,5 point)
Montrer que $v_{n+1} = \dfrac16\,v_n$ pour tout $n$ . (2 points)
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ . (0,5 point)
Montrer que $u_n = \dfrac{4 + v_n}{1 - v_n}$ . (1 point)
Retrouver la limite de $(u_n)$ . (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1,5 pt)

(0,5 pt) Initialisation : pour $n = 1$ , la somme vaut $1 = 1^2$ .
(1 pt) Hérédité : si $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ , alors $1 + 3 + \cdots + (2n - 1) + (2n + 1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$ . La formule est vraie pour tout $n \geq 1$ .

2. (3 pts, 0,75 pt par limite)

a. On garde les termes de plus haut degré : $\dfrac{n^2}{2n^2} = \dfrac12$ . $\lim a_n = \dfrac12$ .
b. Expression conjuguée : $b_n = \dfrac{3}{\sqrt{n+3} + \sqrt n}$ , dont le dénominateur tend vers $+\infty$ . $\lim b_n = 0$ .
c. Croissance comparée : $\lim c_n = 0$ .
d. $2 \leq 3 + (-1)^n \leq 4$ , donc $\dfrac2n \leq d_n \leq \dfrac4n$ . Par le théorème des gendarmes, $\lim d_n = 0$ .

3. (2,5 pts)

a. (1 pt) $v_n = 5\left(\dfrac12\right)^n$ . Comme $-1 < \frac12 < 1$ , $\lim v_n = 0$ .
b. (1 pt) $S_n$ compte $n + 1$ termes : $S_n = 5 \times \dfrac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{1 - \frac12} = 10\left(1 - \left(\dfrac12\right)^{n+1}\right)$ .
c. (0,5 pt) $\left(\frac12\right)^{n+1} \to 0$ , donc $\lim S_n = 10$ .

Exercice 2

Partie A

1. (1 pt) $f'(x) = \dfrac{5(x+2) - (5x+4)}{(x+2)^2} = \dfrac{6}{(x+2)^2} > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . On a $f(1) = \dfrac93 = 3$ et $f(4) = \dfrac{24}{6} = 4$ .

2. (1 pt) $u_1 = f(1) = 3$ et $u_2 = f(3) = \dfrac{19}{5} = 3{,}8$ .

3. (1,5 pt) Initialisation : $u_0 = 1 \in [1\,;4]$ . Hérédité : si $1 \leq u_n \leq 4$ , alors, $f$ étant croissante, $f(1) \leq u_{n+1} \leq f(4)$ , soit $3 \leq u_{n+1} \leq 4$ , donc $1 \leq u_{n+1} \leq 4$ .

4. (1,5 pt) Initialisation : $u_0 = 1 \leq u_1 = 3$ . Hérédité : si $u_n \leq u_{n+1}$ , alors $f(u_n) \leq f(u_{n+1})$ , c'est-à-dire $u_{n+1} \leq u_{n+2}$ . La suite est croissante.

5. (1 pt) $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$ : elle converge vers un réel $\ell$ , et $1 \leq \ell \leq 4$ .

6. (2 pts)

(1 pt) $f$ est continue en $\ell$ , donc $f(\ell) = \ell$ : $5\ell + 4 = \ell(\ell + 2)$ , soit $\ell^2 - 3\ell - 4 = 0$ .
(1 pt) Les solutions sont $4$ et $-1$ . Comme $1 \leq \ell \leq 4$ , $\lim u_n = 4$ .

Partie B

1. (0,5 pt) $v_0 = \dfrac{1 - 4}{1 + 1} = -\dfrac32$ .

2. (2 pts)

(1 pt) $u_{n+1} - 4 = \dfrac{5u_n + 4 - 4u_n - 8}{u_n + 2} = \dfrac{u_n - 4}{u_n + 2}$ et $u_{n+1} + 1 = \dfrac{5u_n + 4 + u_n + 2}{u_n + 2} = \dfrac{6(u_n + 1)}{u_n + 2}$ .
(1 pt) Donc $v_{n+1} = \dfrac{u_n - 4}{6(u_n + 1)} = \dfrac16\,v_n$ .

3. (0,5 pt) $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac16$ : $v_n = -\dfrac32\left(\dfrac16\right)^n$ .

4. (1 pt) De $v_n(u_n + 1) = u_n - 4$ , on tire $u_n(1 - v_n) = 4 + v_n$ . Comme $v_n < 0$ , $1 - v_n \neq 0$ , et $u_n = \dfrac{4 + v_n}{1 - v_n}$ .

5. (1 pt) $\left(\frac16\right)^n \to 0$ , donc $v_n \to 0$ et $u_n \to \dfrac{4 + 0}{1 - 0} = 4$ .

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1	O1 Raisonnement par récurrence
Ex. 1, 2	O4 et O5 Limites, théorèmes de comparaison
Ex. 1, 3	O7 Suites géométriques, sommes, limite de $q^n$
Ex. 2, A1 à A4	O1, O2 et O3 Récurrence, sens de variation, majoration et minoration
Ex. 2, A5 et A6	O6 et O10 Suites monotones bornées, limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
Ex. 2, B	O8 Suite auxiliaire géométrique