Statistique à deux variables

Leçon 1 : Séries à deux variables, nuage de points et point moyen

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1.1 Série statistique à deux variables

On étudie en même temps deux caractères quantitatifs, notés $x$ et $y$, sur une même population de $n$ individus. Chaque individu numéro $i$ fournit un couple $(x_i\,;y_i)$. La liste des $n$ couples est une série statistique à deux variables (ou série double).

Exemple 1 (données simplifiées). Dans une zone du bassin arachidier, on a relevé pendant six saisons la hauteur de pluie $x$, en centaines de millimètres, et le rendement d'arachide $y$, en quintaux par hectare ($1$ quintal $= 100$ kg). Les saisons sont rangées par hauteur de pluie croissante.

Saison $i$	1	2	3	4	5	6
Pluie $x_i$ (centaines de mm)	3	4	6	7	7	9
Rendement $y_i$ (q/ha)	6	8	8	10	9	13

Le couple $(3\,;6)$ signifie : $300$ mm de pluie, et un rendement de $6$ quintaux par hectare. Deux questions guident le chapitre : le rendement dépend-il de la pluie ? Peut-on prévoir le rendement d'une saison à $800$ mm ?

1.2 Nuage de points

Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points $M_i(x_i\,;y_i)$ est le nuage de points de la série.

Dans l'exemple 1, le nuage monte de gauche à droite et il a une forme allongée : quand il pleut davantage, le rendement a tendance à augmenter. Les points ne sont pas alignés, mais ils restent proches d'une droite.

1.3 Point moyen

Définition. Le point moyen du nuage est le point $G(\overline{x}\,;\overline{y})$, où $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad \text{et} \qquad \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i.$

Exemple 1 (suite). $\sum x_i = 3 + 4 + 6 + 7 + 7 + 9 = 36$, donc $\overline{x} = \dfrac{36}{6} = 6$. $\sum y_i = 54$, donc $\overline{y} = \dfrac{54}{6} = 9$. Le point moyen est $G(6\,;9)$.

1.4 Variance et écart-type (rappels de Seconde)

Définition. La variance de la série $x$ et son écart-type sont $V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)^2 \qquad \text{et} \qquad \sigma_x = \sqrt{V(x)}.$ La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : elle mesure la dispersion des valeurs. On définit de même $V(y)$ et $\sigma_y$.

Formule de calcul. $V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \overline{x}^2.$

Démonstration. On développe $\left(x_i - \overline{x}\right)^2 = x_i^2 - 2\overline{x}\,x_i + \overline{x}^2$, puis on fait la moyenne : $V(x) = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2\overline{x} \times \frac{1}{n}\sum x_i + \overline{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2\overline{x}^2 + \overline{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \overline{x}^2.$

Exemple 1 (suite). $\sum x_i^2 = 9 + 16 + 36 + 49 + 49 + 81 = 240$, donc $V(x) = \dfrac{240}{6} - 6^2 = 40 - 36 = 4$ et $\sigma_x = 2$. $\sum y_i^2 = 36 + 64 + 64 + 100 + 81 + 169 = 514$, donc $V(y) = \dfrac{514}{6} - 9^2 = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}67$ et $\sigma_y = \sqrt{\dfrac{14}{3}} \approx 2{,}16$.

1.5 Ajuster le nuage par une droite

Quand le nuage a une forme allongée, on cherche une droite qui passe « au plus près » des points : c'est un ajustement affine. En Première, on l'a tracée à main levée, ou par la méthode de Mayer. Ces méthodes dépendent de celui qui trace, ou de la façon de partager le nuage. Cette année, on apprend la méthode des moindres carrés : elle donne, par le calcul, une seule droite, qui servira à faire des prévisions.

Leçon 2 : La covariance

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2.1 L'idée : quatre zones autour du point moyen

Les droites passant par $G$, parallèles aux axes, partagent le plan en quatre zones. Pour un point $M_i$, on regarde le produit des écarts $\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right)$ :

• il est positif si $M_i$ est en haut à droite de $G$ (deux écarts positifs) ou en bas à gauche (deux écarts négatifs) ;
• il est négatif dans les deux autres zones.

2.2 Définition

Définition. La covariance de $x$ et de $y$ est la moyenne des produits des écarts : $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right).$

Signe. Si la plupart des points sont dans les zones où le produit est positif, la covariance est positive : le nuage « monte ». Si elle est négative, le nuage « descend ». On remarque que $\operatorname{cov}(x, x) = V(x)$.

2.3 Formule de calcul

Théorème 1. $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \overline{x}\,\overline{y}.$

Démonstration. $\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right) = x_iy_i - \overline{y}\,x_i - \overline{x}\,y_i + \overline{x}\,\overline{y}$. En faisant la moyenne, et comme $\frac{1}{n}\sum x_i = \overline{x}$ et $\frac{1}{n}\sum y_i = \overline{y}$ : $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{y}\,\overline{x} - \overline{x}\,\overline{y} + \overline{x}\,\overline{y} = \frac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{x}\,\overline{y}.$

Exemple 2. Covariance de la série de l'exemple 1, de deux façons.

• Par la définition. Avec $\overline{x} = 6$ et $\overline{y} = 9$ :

$x_i$	3	4	6	7	7	9	Total
$y_i$	6	8	8	10	9	13
$x_i - \overline{x}$	$-3$	$-2$	$0$	$1$	$1$	$3$
$y_i - \overline{y}$	$-3$	$-1$	$-1$	$1$	$0$	$4$
produit	$9$	$2$	$0$	$1$	$0$	$12$	$24$

Donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{24}{6} = 4$.

• Par le théorème 1. $\sum x_iy_i = 18 + 32 + 48 + 70 + 63 + 117 = 348$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{348}{6} - 6 \times 9 = 58 - 54 = 4$.

La covariance est positive : le nuage monte.

Exemple 3 (données simplifiées). Sur un quai de pêche artisanale, on relève pendant cinq jours la quantité de poisson débarquée $x$, en tonnes, et le prix moyen du kilo $y$, en centaines de francs CFA.

$x_i$ (t)	2	4	5	6	8
$y_i$ (centaines de F CFA)	11	7	7	5	5

$\overline{x} = \dfrac{25}{5} = 5$, $\overline{y} = \dfrac{35}{5} = 7$, $\sum x_iy_i = 22 + 28 + 35 + 30 + 40 = 155$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{155}{5} - 5 \times 7 = 31 - 35 = -4.$ La covariance est négative : les jours où il y a plus de poisson, le prix est plus bas.

2.4 Organiser les calculs

On présente les calculs dans un tableau à cinq lignes : $x_i$, $y_i$, $x_i^2$, $y_i^2$, $x_iy_i$, avec une colonne des totaux. Pour l'exemple 1 :

Les totaux donnent tout le reste : $\overline{x} = 6$, $\overline{y} = 9$, $V(x) = 4$, $V(y) = \frac{14}{3}$, $\operatorname{cov}(x, y) = 4$.

Remarque (changement d'origine ou d'unité). Si $u_i = \alpha x_i + \beta$ et $v_i = \gamma y_i + \delta$ ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ réels), alors $u_i - \overline{u} = \alpha\left(x_i - \overline{x}\right)$ et $v_i - \overline{v} = \gamma\left(y_i - \overline{y}\right)$, d'où $\overline{u} = \alpha\overline{x} + \beta, \qquad V(u) = \alpha^2\,V(x), \qquad \operatorname{cov}(u, v) = \alpha\gamma\operatorname{cov}(x, y).$ On s'en sert pour simplifier les calculs, par exemple en remplaçant une année par son rang (exercices 2 et 4).

Leçon 3 : La méthode des moindres carrés

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Mesurer l'écart entre une droite et le nuage

Soit $D$ une droite d'équation $y = ax + b$. Pour chaque point $M_i(x_i\,;y_i)$, on note $P_i(x_i\,;ax_i + b)$ le point de $D$ qui a la même abscisse. L'écart vertical (ou résidu) est $e_i = y_i - \left(ax_i + b\right).$ Il est positif si $M_i$ est au-dessus de $D$, négatif s'il est au-dessous. Pour que les écarts ne se compensent pas, on les élève au carré et on les additionne : $S(a, b) = \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n}\left(y_i - ax_i - b\right)^2.$ Plus $S(a, b)$ est petit, plus la droite est proche des points. La méthode des moindres carrés consiste à choisir $a$ et $b$ pour que $S(a, b)$ soit minimal.

3.2 Le théorème

Théorème 2. On suppose $V(x) \neq 0$ (les $x_i$ ne sont pas tous égaux). Il existe une seule droite qui rend $S(a, b)$ minimal. On l'appelle la droite de régression de $y$ en $x$, notée $D_{y/x}$. Son équation est $y = ax + b$, avec $a = \frac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)} \qquad \text{et} \qquad b = \overline{y} - a\,\overline{x}.$ L'égalité $\overline{y} = a\overline{x} + b$ signifie que $D_{y/x}$ passe par le point moyen $G$. La somme des écarts $e_i$ est alors nulle.

3.3 Démonstration

Elle ne fait pas partie des compétences exigibles, mais elle explique les formules. Elle n'utilise que le second degré.

Étape 1 : la pente $a$ est fixée, on cherche le meilleur $b$. On pose $c_i = y_i - ax_i$. Alors $S(a, b) = \sum\left(c_i - b\right)^2 = n\,b^2 - 2b\sum c_i + \sum c_i^2.$ C'est un trinôme en $b$, de coefficient $n > 0$ : il est minimal pour $b = \dfrac{1}{n}\sum c_i = \overline{y} - a\,\overline{x}$. Quelle que soit sa pente, la meilleure droite passe donc par $G$.

Étape 2 : la droite passe par $G$, on cherche $a$. Avec $b = \overline{y} - a\overline{x}$, chaque écart s'écrit $e_i = \left(y_i - \overline{y}\right) - a\left(x_i - \overline{x}\right)$. En développant les carrés et en faisant la somme : $S = n\left[V(y) - 2a\operatorname{cov}(x, y) + a^2\,V(x)\right].$ C'est un trinôme en $a$, de coefficient $nV(x) > 0$ : il est minimal pour $a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)}$.

Pour toute droite, $S(a, b) \geq S\!\left(a, \overline{y} - a\overline{x}\right) \geq S_{\min}$, et l'égalité n'a lieu que pour les valeurs de $a$ et $b$ du théorème. En remplaçant $a$ par sa valeur, on obtient la valeur du minimum : $S_{\min} = n\left[V(y) - \frac{\operatorname{cov}(x, y)^2}{V(x)}\right].$

3.4 Exemples

Exemple 4. Droite de régression de $y$ en $x$ pour l'exemple 1.

• $a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)} = \dfrac{4}{4} = 1$ et $b = \overline{y} - a\overline{x} = 9 - 1 \times 6 = 3$. Donc $D_{y/x}$ : $y = x + 3$.
• Vérification : $G(6\,;9)$ est sur la droite, car $6 + 3 = 9$.
• Écarts : $6 - 6 = 0$, $8 - 7 = 1$, $8 - 9 = -1$, $10 - 10 = 0$, $9 - 10 = -1$, $13 - 12 = 1$. Leur somme est nulle et $S_{\min} = 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4$. On retrouve $6\left[\dfrac{14}{3} - \dfrac{4^2}{4}\right] = 4$.
• Comparaison : la droite horizontale $y = 9$, qui passe aussi par $G$, donne $S = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 16 = 28$.
• Prévision : pour une saison à $800$ mm, $x = 8$ et $y = 8 + 3 = 11$ : on peut prévoir un rendement d'environ $11$ quintaux par hectare.

Exemple 5. Pour l'exemple 3 (pêche), $V(x) = \dfrac{145}{5} - 25 = 4$, donc $a = \dfrac{-4}{4} = -1$ et $b = 7 - (-1) \times 5 = 12$ : $D_{y/x}$ : $y = -x + 12$. Un jour où l'on débarque $3$ tonnes, on peut estimer le prix à $9$ centaines de francs CFA, soit $900$ F CFA le kilo.

Leçon 4 : Droite de régression de x en y, coefficient de corrélation linéaire

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 La droite de régression de x en y

On échange les rôles de $x$ et de $y$ : on cherche une droite d'équation $x = a'y + b'$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts horizontaux, $\sum\left(x_i - a'y_i - b'\right)^2$. Le même raisonnement donne :

Théorème 3. On suppose $V(y) \neq 0$. La droite de régression de $x$ en $y$, notée $D_{x/y}$, a pour équation $x = a'y + b'$, avec $a' = \frac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(y)} \qquad \text{et} \qquad b' = \overline{x} - a'\,\overline{y}.$ Elle passe aussi par le point moyen $G$. Les deux droites de régression se coupent donc en $G$.

Exemple 6. Pour l'exemple 1, $V(y) = \dfrac{14}{3}$, donc $a' = \dfrac{4}{14/3} = \dfrac{12}{14} = \dfrac{6}{7}$ et $b' = 6 - \dfrac{6}{7} \times 9 = -\dfrac{12}{7}$. $D_{x/y}$ : $x = \dfrac{6}{7}\,y - \dfrac{12}{7}$. Résolue en $y$ : $7x = 6y - 12$, soit $y = \dfrac{7}{6}\,x + 2$. Les deux droites $y = x + 3$ et $y = \dfrac{7}{6}x + 2$ se coupent bien en $G(6\,;9)$. Elles sont proches, mais distinctes.

4.2 Le coefficient de corrélation linéaire

Définition. On suppose $\sigma_x \neq 0$ et $\sigma_y \neq 0$. Le coefficient de corrélation linéaire de la série est $r = \frac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_x\,\sigma_y}.$ Il a le signe de la covariance, donc le même signe que $a$ et $a'$.

Exemple 7. Pour l'exemple 1 : $r = \dfrac{4}{2 \times \sqrt{\frac{14}{3}}} = \dfrac{2}{\sqrt{\frac{14}{3}}} = \dfrac{\sqrt{42}}{7} \approx 0{,}926$. Pour l'exemple 3 (pêche) : $V(y) = \dfrac{269}{5} - 49 = \dfrac{24}{5}$ et $r = \dfrac{-4}{2\sqrt{4{,}8}} \approx -0{,}913$.

4.3 Propriétés

Théorème 4.

1. $r^2 = a\,a'$.
2. $-1 \leq r \leq 1$.
3. $r = 1$ ou $r = -1$ si et seulement si tous les points du nuage sont alignés. Les deux droites de régression sont alors confondues.

Démonstration.

1. $a\,a' = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)} \times \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(y)} = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)^2}{\sigma_x^2\,\sigma_y^2} = r^2$.
2. D'après la leçon 3, $S_{\min} = n\left[V(y) - \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)^2}{V(x)}\right] = n\,V(y)\left(1 - r^2\right)$. Une somme de carrés est positive ou nulle et $V(y) > 0$, donc $1 - r^2 \geq 0$, c'est-à-dire $r^2 \leq 1$.
3. $r^2 = 1$ si et seulement si $S_{\min} = 0$, c'est-à-dire si tous les écarts $e_i$ sont nuls : tous les points sont sur $D_{y/x}$. Dans ce cas $a' = \dfrac{1}{a}$, et $D_{x/y}$, qui passe aussi par $G$, s'écrit $y = ax + b$ : c'est la même droite.

Exemple 7 (suite). $a\,a' = 1 \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{6}{7}$ et $r^2 = \dfrac{42}{49} = \dfrac{6}{7}$. De plus $n\,V(y)\left(1 - r^2\right) = 6 \times \dfrac{14}{3} \times \dfrac{1}{7} = 4$ : c'est bien $S_{\min}$ (exemple 4).

4.4 Interpréter le coefficient de corrélation

• Le signe : $r > 0$ quand $x$ et $y$ varient plutôt dans le même sens, $r < 0$ quand ils varient plutôt en sens contraires.
• $|r|$ proche de $1$ : les points sont proches d'une droite. La corrélation linéaire est forte et un ajustement affine est justifié. Dans l'exemple 1, $r \approx 0{,}926$ ; dans l'exemple 3, $r \approx -0{,}913$.
• $|r|$ proche de $0$ : la corrélation linéaire est faible, et un ajustement affine n'a pas beaucoup de sens.
• Aucun seuil n'est fixé par le programme. Si un énoncé en donne un, on l'applique ; sinon, on interprète la valeur de $|r|$.

Attention : $r$ ne mesure qu'une tendance linéaire.

Exemple 8. La série $x_i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ et $y_i = 8{,}2\,;\ 4{,}2\,;\ 1{,}8\,;\ 1\,;\ 1{,}8\,;\ 4{,}2\,;\ 8{,}2$ a ses points sur la parabole d'équation $y = 0{,}8(x - 4)^2 + 1$. Ici $\overline{x} = 4$, et les écarts $x_i - 4$ sont opposés deux à deux pour des valeurs de $y$ égales, donc $\operatorname{cov}(x, y) = 0$ et $r = 0$. Il n'y a aucune corrélation linéaire, et pourtant $y$ dépend entièrement de $x$.

Leçon 5 : Série donnée par un tableau à double entrée

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Le tableau à double entrée

Quand la population est grande, plusieurs individus ont les mêmes valeurs. Si $x$ prend les valeurs $x_1, \dots, x_p$ et $y$ les valeurs $y_1, \dots, y_q$, on note $n_{ij}$ le nombre d'individus qui ont à la fois la valeur $x_i$ et la valeur $y_j$. On range ces effectifs dans un tableau à double entrée. L'effectif total est $N = \sum_i\sum_j n_{ij}$.

Exemple 9 (données simplifiées). Sur $40$ parcelles de mil, on a relevé la dose d'engrais $x$, en sacs par hectare, et le rendement $y$, en quintaux par hectare.

$y$ \ $x$	$1$	$2$	$3$	Total
$6$	$8$	$2$	$0$	$10$
$8$	$2$	$16$	$2$	$20$
$10$	$0$	$2$	$8$	$10$
Total	$10$	$20$	$10$	$40$

Par exemple, $16$ parcelles ont reçu $2$ sacs par hectare et ont donné $8$ quintaux par hectare.

5.2 Séries marginales (rappel de Première)

Le total de la colonne $x_i$, noté $n_{i\bullet}$, est le nombre d'individus pour lesquels $x = x_i$ ; les couples $\left(x_i\,;n_{i\bullet}\right)$ forment la série marginale de $x$. De même, les totaux des lignes $n_{\bullet j}$ donnent la série marginale de $y$. Les moyennes et les variances se calculent sur ces séries, avec les effectifs : $\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_i n_{i\bullet}\,x_i, \qquad V(x) = \frac{1}{N}\sum_i n_{i\bullet}\,x_i^2 - \overline{x}^2,$ et de même pour $y$.

Exemple 9 (suite).

• Série marginale de $x$ : $1$, $2$, $3$ avec les effectifs $10$, $20$, $10$. $\overline{x} = \dfrac{10 + 40 + 30}{40} = \dfrac{80}{40} = 2$ et $V(x) = \dfrac{10 + 80 + 90}{40} - 4 = 4{,}5 - 4 = 0{,}5$.
• Série marginale de $y$ : $6$, $8$, $10$ avec les effectifs $10$, $20$, $10$. $\overline{y} = \dfrac{320}{40} = 8$ et $V(y) = \dfrac{360 + 1280 + 1000}{40} - 64 = 66 - 64 = 2$.
• Le point moyen est $G(2\,;8)$.

5.3 Séries conditionnelles (rappel de Première)

Une colonne seule décrit la série conditionnelle de $y$ sachant $x = x_i$ : la répartition de $y$ parmi les seuls individus pour lesquels $x = x_i$. La fréquence conditionnelle de $y_j$ est $\dfrac{n_{ij}}{n_{i\bullet}}$. On définit de même, avec une ligne, la série conditionnelle de $x$ sachant $y = y_j$.

Exemple 9 (suite). Parmi les $10$ parcelles qui ont reçu $3$ sacs, les rendements $6$, $8$, $10$ ont les effectifs $0$, $2$, $8$, donc les fréquences conditionnelles $0\,\%$, $20\,\%$ et $80\,\%$. Le rendement moyen de ces parcelles est $\dfrac{0 \times 6 + 2 \times 8 + 8 \times 10}{10} = 9{,}6$ quintaux par hectare.

5.4 Covariance et droites de régression

Chaque case compte autant de fois que son effectif : $\operatorname{cov}(x, y) = \frac{1}{N}\sum_i\sum_j n_{ij}\,x_i\,y_j - \overline{x}\,\overline{y}.$ Le coefficient de corrélation et les droites de régression se calculent ensuite avec les mêmes formules qu'aux leçons 3 et 4.

Exemple 9 (suite). On calcule $n_{ij}\,x_i\,y_j$ case par case :

$y$ \ $x$	$1$	$2$	$3$	Total
$6$	$8 \times 1 \times 6 = 48$	$2 \times 2 \times 6 = 24$	$0$	$72$
$8$	$2 \times 1 \times 8 = 16$	$16 \times 2 \times 8 = 256$	$2 \times 3 \times 8 = 48$	$320$
$10$	$0$	$2 \times 2 \times 10 = 40$	$8 \times 3 \times 10 = 240$	$280$

Le total vaut $672$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{672}{40} - 2 \times 8 = 16{,}8 - 16 = 0{,}8$.

• $r = \dfrac{0{,}8}{\sqrt{0{,}5} \times \sqrt{2}} = \dfrac{0{,}8}{1} = 0{,}8$ : la corrélation est positive et assez forte.
• $D_{y/x}$ : $a = \dfrac{0{,}8}{0{,}5} = 1{,}6$ et $b = 8 - 1{,}6 \times 2 = 4{,}8$, donc $y = 1{,}6\,x + 4{,}8$.
• $D_{x/y}$ : $a' = \dfrac{0{,}8}{2} = 0{,}4$ et $b' = 2 - 0{,}4 \times 8 = -1{,}2$, donc $x = 0{,}4\,y - 1{,}2$. On vérifie que $a\,a' = 0{,}64 = r^2$.
• Avec $2{,}5$ sacs par hectare, on estime le rendement à $1{,}6 \times 2{,}5 + 4{,}8 = 8{,}8$ quintaux par hectare.

Leçon 6 : Faire des prévisions

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6.1 La démarche complète

1. Représenter le nuage et observer sa forme.
2. Calculer $r$ et l'interpréter : si $|r|$ est proche de $1$, un ajustement affine est justifié.
3. Déterminer la droite de régression utile.
4. Faire l'estimation demandée.
5. Porter un regard critique sur le résultat.

Exemple 10 (données simplifiées). Population d'une commune, en milliers d'habitants. Pour simplifier, chaque année est remplacée par son rang $x$.

Année	2019	2020	2021	2022	2023
Rang $x_i$	1	2	3	4	5
Population $y_i$ (milliers)	42,5	44,6	47,2	49,8	51,9

• Le nuage est presque aligné sur une droite qui monte.
• $\overline{x} = 3$, $\overline{y} = \dfrac{236}{5} = 47{,}2$, $V(x) = 2$, $V(y) = 11{,}54$ ; $\sum x_iy_i = 732$, donc $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{732}{5} - 3 \times 47{,}2 = 146{,}4 - 141{,}6 = 4{,}8$.
• $r = \dfrac{4{,}8}{\sqrt{2} \times \sqrt{11{,}54}} \approx 0{,}999$ : $r$ est très proche de $1$, l'ajustement affine est justifié.
• $a = \dfrac{4{,}8}{2} = 2{,}4$ et $b = 47{,}2 - 2{,}4 \times 3 = 40$ : $D_{y/x}$ : $y = 2{,}4\,x + 40$.
• Estimation pour 2030 : le rang est $12$, et $y = 2{,}4 \times 12 + 40 = 68{,}8$. Si la tendance se maintient, la commune compterait environ $68\,800$ habitants en 2030.

6.2 Interpolation et extrapolation

• Si la valeur de $x$ utilisée est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur observée, on fait une interpolation.
• Si elle est en dehors, on fait une extrapolation : on suppose que la tendance observée continue, ce que rien ne garantit. Plus on s'éloigne des valeurs observées, moins l'estimation est fiable.

Dans l'exemple 10, 2030 est sept ans après la dernière observation : c'est une extrapolation, à prendre avec prudence. Autre exemple : pour des enfants de $2$ à $12$ ans (exercice 1), la taille augmente presque régulièrement avec l'âge, et la droite de régression est $y = 6{,}5\,x + 75$ (en cm). À $30$ ans, elle prévoirait $6{,}5 \times 30 + 75 = 270$ cm : absurde, car la croissance s'arrête.

6.3 Quelle droite utiliser ?

• Pour estimer $y$ connaissant $x$, on utilise la droite de régression de $y$ en $x$.
• Pour estimer $x$ connaissant $y$, on utilise la droite de régression de $x$ en $y$.
• Si l'énoncé impose une droite, on utilise celle-là.

Exemple 11. Retour à l'exemple 1.

• Rendement attendu pour $800$ mm : avec $D_{y/x}$, $y = 8 + 3 = 11$ quintaux par hectare.
• Pluie correspondant à un rendement de $12$ quintaux : avec $D_{x/y}$, $x = \dfrac{6}{7} \times 12 - \dfrac{12}{7} = \dfrac{60}{7} \approx 8{,}57$, soit environ $857$ mm.
• Avec $D_{y/x}$, on aurait trouvé $x + 3 = 12$, soit $x = 9$ ($900$ mm). Les deux droites ne donnent pas la même réponse, car $r \neq \pm 1$.

6.4 Corrélation n'est pas causalité

Une forte corrélation montre que deux caractères varient ensemble ; elle ne prouve pas que l'un est la cause de l'autre. Par exemple, dans une ville, les ventes de ventilateurs et les ventes de glaces augmentent pendant les mêmes mois : les deux dépendent de la chaleur, et les ventilateurs ne font pas vendre les glaces. De même, deux grandeurs qui augmentent toutes les deux avec le temps sont fortement corrélées, sans lien de cause à effet entre elles.

Remarque (changement de variable). Quand le nuage n'a pas une forme allongée selon une droite, un énoncé peut proposer un changement de variable, par exemple $z = \ln y$. On applique alors la méthode à la série $(x_i\,;z_i)$, puis on revient à $y$ (exercice 12).

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Une série à deux variables est formée de $n$ couples $(x_i\,;y_i)$, représentés par un nuage de points. Son point moyen est $G(\overline{x}\,;\overline{y})$.
2. $V(x) = \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \overline{x}^2$ et $\sigma_x = \sqrt{V(x)}$.
3. $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{1}{n}\sum\left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right) = \dfrac{1}{n}\sum x_iy_i - \overline{x}\,\overline{y}$. Positive, le nuage monte ; négative, il descend.
4. Moindres carrés. La droite de régression de $y$ en $x$ rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux : $y = ax + b$ avec $a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)}$ et $b = \overline{y} - a\overline{x}$.
5. La droite de régression de $x$ en $y$ : $x = a'y + b'$ avec $a' = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(y)}$ et $b' = \overline{x} - a'\overline{y}$. Les deux droites passent par $G$.
6. $r = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_x\,\sigma_y}$, $-1 \leq r \leq 1$, $r^2 = a\,a'$. Plus $|r|$ est proche de $1$, plus l'ajustement affine est justifié. $r$ ne mesure qu'une tendance linéaire.
7. Tableau à double entrée : les totaux donnent les séries marginales ; $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{1}{N}\sum\sum n_{ij}\,x_iy_j - \overline{x}\,\overline{y}$.
8. Prévisions : $y$ connaissant $x$ avec $D_{y/x}$, $x$ connaissant $y$ avec $D_{x/y}$, sauf si l'énoncé impose une droite. Prudence en cas d'extrapolation. Une corrélation ne prouve pas une causalité.