Complexes et similitudes

1. Question 1 sur 18$(2 + i)(3 - i) =$

   A $7 + i$ B $5 + i$ C $6 - i$ D $7 - i$

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   Réponse A. $6 - 2i + 3i - i^2 = 6 + i + 1 = 7 + i$ . La réponse B oublie que $-i^2 = +1$ .

2. Question 2 sur 18La forme algébrique de $\dfrac{1}{1 + i}$ est

   A $1 - i$ B $\dfrac12 - \dfrac12\,i$ C $\dfrac12 + \dfrac12\,i$ D $-1 + i$

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   Réponse B. On multiplie par le conjugué : $\dfrac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{1 - i}{2}$ .

3. Question 3 sur 18La partie imaginaire de $z = 3 - 4i$ est

   A $4i$ B $-4i$ C $-4$ D $4$

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   Réponse C. La partie imaginaire est un réel : $z = a + ib$ avec $b = -4$ .

4. Question 4 sur 18Un argument de $-1 - i$ est

   A $\dfrac{\pi}{4}$ B $-\dfrac{\pi}{4}$ C $\dfrac{3\pi}{4}$ D $-\dfrac{3\pi}{4}$

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   Réponse D. $|-1 - i| = \sqrt2$ , $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ : le point est dans le troisième quadrant.

5. Question 5 sur 18On donne $A(1 + 2i)$ et $B(4 - 2i)$ . La distance $AB$ vaut

   A $5$ B $\sqrt5$ C $25$ D $7$

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   Réponse A. $AB = |z_B - z_A| = |3 - 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

6. Question 6 sur 18$(1 + i)^4 =$

   A $4$ B $-4$ C $4i$ D $-4i$

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   Réponse B. $(1 + i)^4 = \left(\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^4 = 4e^{i\pi} = -4$ . Ou bien $(1 + i)^2 = 2i$ , puis $(2i)^2 = -4$ .

7. Question 7 sur 18Si $|z| = 2$ et $\arg z = \dfrac{\pi}{6}$ , alors $z^3 =$

   A $8i$ B $6i$ C $8$ D $2i$

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   Réponse A. $z^3 = 2^3 e^{i\frac{3\pi}{6}} = 8e^{i\frac{\pi}{2}} = 8i$ . Le module est élevé au cube, l'argument est multiplié par $3$ .

8. Question 8 sur 18Les images des racines cubiques de l'unité sont

   A les sommets d'un carré B les sommets d'un triangle équilatéral C les sommets d'un triangle rectangle D trois points alignés

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   Réponse B. Ce sont $1$ , $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $e^{i\frac{4\pi}{3}}$ : trois points du cercle trigonométrique séparés d'un angle $\dfrac{2\pi}{3}$ .

9. Question 9 sur 18Pour tout réel $\theta$ , $\sin\theta =$

   A $\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ B $\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}$ C $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$ D $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

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   Réponse A. C'est une formule d'Euler. La réponse D est celle de $\cos\theta$ .

10. Question 10 sur 18La linéarisation de $\cos^3 x$ est

    A $\dfrac{\cos(3x) + 3\cos x}{4}$ B $\dfrac{3\cos(3x) + \cos x}{4}$ C $\cos(3x)$ D $\dfrac{\cos(3x) - 3\cos x}{4}$

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    Réponse A. $\left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \dfrac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8} = \dfrac{2\cos(3x) + 6\cos x}{8}$ . Contrôle en $x = 0$ : $\frac{1 + 3}{4} = 1 = \cos^3 0$ .

11. Question 11 sur 18Les solutions dans $\mathbb{C}$ de $z^2 + 4 = 0$ sont

    A $2$ et $-2$ B $2i$ et $-2i$ C $4i$ et $-4i$ D il n'y en a pas

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    Réponse B. $(2i)^2 = -4$ . Dans $\mathbb{C}$ , tout nombre non nul a deux racines carrées.

12. Question 12 sur 18Les solutions dans $\mathbb{C}$ de $z^2 - 2z + 2 = 0$ sont

    A $1 + i$ et $1 - i$ B $-1 + i$ et $-1 - i$ C $2 + 2i$ et $2 - 2i$ D $1$ et $2$

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    Réponse A. $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ , donc $z = \dfrac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$ . La réponse C oublie de diviser par $2a = 2$ .

13. Question 13 sur 18Si $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = i$ , alors le triangle $ABC$ est

    A rectangle isocèle en $A$ B équilatéral C rectangle en $B$ D aplati : $A$ , $B$ , $C$ sont alignés

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    Réponse A. Le module $1$ donne $AC = AB$ , l'argument $\dfrac{\pi}{2}$ donne $\big(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\big) = \dfrac{\pi}{2}$ .

14. Question 14 sur 18L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - 2 + i| = 3$ est

    A le cercle de centre $\Omega(2 - i)$ et de rayon $3$ B le cercle de centre $\Omega(-2 + i)$ et de rayon $3$ C le cercle de centre $\Omega(2 - i)$ et de rayon $9$ D une droite

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    Réponse A. $|z - 2 + i| = |z - (2 - i)| = \Omega M$ avec $\Omega(2 - i)$ . La réponse B se trompe de signe.

15. Question 15 sur 18La transformation d'écriture complexe $z' = 2iz + 3$ est la similitude directe

    A de rapport $2$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ B de rapport $2i$ et d'angle $0$ C de rapport $2$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ D de rapport $3$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$

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    Réponse A. $a = 2i = 2e^{i\frac{\pi}{2}}$ : le rapport est $|a| = 2$ (un réel positif) et l'angle est $\arg a = \dfrac{\pi}{2}$ .

16. Question 16 sur 18Pour tout réel $x$ , $\cos x + \sin x =$

    A $\sqrt2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ B $\sqrt2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ C $2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ D $\cos(2x)$

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    Réponse A. $1 + i = \sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ , donc $\cos x + \sin x = \sqrt2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ . Contrôle en $x = 0$ : $\sqrt2 \times \dfrac{\sqrt2}{2} = 1$ .

17. Question 17 sur 18$1 + i + i^2 + \dots + i^7 =$

    A $0$ B $1$ C $i$ D $8$

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    Réponse A. $\dfrac{1 - i^8}{1 - i} = \dfrac{1 - 1}{1 - i} = 0$ . Les termes se compensent quatre par quatre.

18. Question 18 sur 18Pour tous réels $p$ et $q$ , $\cos p + \cos q =$

    A $2\cos\dfrac{p + q}{2}\cos\dfrac{p - q}{2}$ B $2\sin\dfrac{p + q}{2}\sin\dfrac{p - q}{2}$ C $\cos(p + q)$ D $2\cos(p + q)\cos(p - q)$

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    Réponse A. On factorise $e^{ip} + e^{iq}$ par $e^{i\frac{p+q}{2}}$ (angle moitié), puis on prend la partie réelle.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.