Complexes et similitudes

Leçon 1 : Forme algébrique et conjugué

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Un peu d'histoire

Les ensembles de nombres se sont agrandis pour résoudre des équations qui n'avaient pas de solution : $x + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}$, mais en a une dans $\mathbb{Z}$ ; $2x = 1$ en a une dans $\mathbb{Q}$ ; $x^2 = 2$ en a dans $\mathbb{R}$. On obtient ainsi $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$ Mais $x^2 = -1$ n'a toujours pas de solution réelle, puisqu'un carré est positif.

Au XVIe siècle, des algébristes italiens (Cardan, puis Bombelli) calculent avec des « racines carrées de nombres négatifs » pour résoudre des équations du troisième degré, sans savoir ce qu'elles représentent. Euler introduit la notation $i$ à la fin du XVIIIe siècle. Au début du XIXe siècle, Argand et Gauss représentent ces nombres par les points d'un plan : ils deviennent des outils pour la trigonométrie et la géométrie. C'est ce que ce chapitre va montrer.

1.2 Définition

Définition (existence admise). Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :

• $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ ;
• $\mathbb{C}$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ et qui suivent les mêmes règles de calcul (commutativité, associativité, distributivité) ;
• $\mathbb{C}$ contient un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ;
• tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique $z = a + ib$, avec $a$ et $b$ réels.

Vocabulaire.

• L'écriture $z = a + ib$ ($a$, $b$ réels) est la forme algébrique de $z$.
• $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$ ; $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\mathrm{Im}(z)$. Ce sont deux réels : pour $z = 2 - 3i$, $\mathrm{Im}(z) = -3$, et non $-3i$.
• $z$ est réel si $b = 0$ ; $z$ est imaginaire pur si $a = 0$. Le nombre $0$ est à la fois réel et imaginaire pur.

Égalité. Par unicité de l'écriture : $a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$. En particulier, $a + ib = 0 \iff a = 0$ et $b = 0$.

S1 · S3 · S1A Structure de corps. Comme dans $\mathbb{R}$, l'addition et la multiplication de $\mathbb{C}$ sont commutatives et associatives, la multiplication est distributive sur l'addition, $0$ et $1$ sont les éléments neutres, tout complexe $z$ a un opposé $-z$, et tout complexe non nul a un inverse (paragraphe 1.5). On dit que $(\mathbb{C}, +, \times)$ est un corps commutatif.

1.3 Calculs dans $\mathbb{C}$

On calcule comme avec des réels, en remplaçant $i^2$ par $-1$. Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ : $z + z' = (a + a') + i(b + b') \qquad z\,z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b).$

Les puissances de $i$ se répètent de quatre en quatre : $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$…

Les identités remarquables restent vraies : $(a + ib)^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ et $(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$.

Exemple 1. Avec $z_1 = 2 + 3i$ et $z_2 = 1 - i$ :

• $z_1 + z_2 = 3 + 2i$ ;
• $z_1 z_2 = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$ ;
• $(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = -3 + 4i$ et $(1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Produit nul. Comme dans $\mathbb{R}$, un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $z\,z' = 0 \iff z = 0$ ou $z' = 0$.

1.4 Le conjugué

Définition. Le conjugué de $z = a + ib$ est le nombre complexe $\overline{z} = a - ib$.

Propriétés immédiates. Pour $z = a + ib$ : $z + \overline{z} = 2a = 2\,\mathrm{Re}(z) \qquad z - \overline{z} = 2ib = 2i\,\mathrm{Im}(z) \qquad z\,\overline{z} = a^2 + b^2.$ Le produit $z\,\overline{z}$ est donc un réel positif, nul seulement si $z = 0$. On en déduit :

• $z$ est réel $\iff \overline{z} = z$ ;
• $z$ est imaginaire pur $\iff \overline{z} = -z$.

Propriétés de calcul. Pour tous complexes $z$ et $z'$, et tout entier naturel $n$ : $\overline{\overline{z}} = z \qquad \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \qquad \overline{z\,z'} = \overline{z}\;\overline{z'} \qquad \overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}$ et, si $z' \neq 0$ : $\overline{\left(\frac{1}{z'}\right)} = \frac{1}{\overline{z'}} \qquad \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}.$

Démonstration pour le produit. $z\,z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$, donc $\overline{z\,z'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$. Et $\overline{z}\;\overline{z'} = (a - ib)(a' - ib') = (aa' - bb') - i(ab' + a'b)$ : c'est le même nombre. La propriété des puissances s'en déduit par récurrence.

1.5 Inverse et quotient

Propriété. Tout complexe $z = a + ib$ non nul a un inverse : $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\,\overline{z}} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}.$

Méthode. Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient un réel.

Exemple 2. $\dfrac{1}{i} = \dfrac{-i}{i \times (-i)} = \dfrac{-i}{1} = -i$.

Exemple 3. $\dfrac{3 + i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{3 + 6i + i + 2i^2}{1 + 4} = \dfrac{1 + 7i}{5} = \dfrac15 + \dfrac75\,i.$

1.6 Équations du premier degré

Exemple 4. Résoudre $(1 + i)z = 3 - i$.

$z = \dfrac{3 - i}{1 + i} = \dfrac{(3 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{3 - 3i - i + i^2}{2} = \dfrac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i.$

Exemple 5 (équation avec $\overline{z}$). Résoudre $2z + i\,\overline{z} = 3$.

On ne peut pas isoler $z$ directement. On pose $z = x + iy$, avec $x$ et $y$ réels : $\overline{z} = x - iy$ et $2z + i\,\overline{z} = 2x + 2iy + ix - i^2y = (2x + y) + i(x + 2y).$ Par identification des parties réelles et imaginaires : $2x + y = 3$ et $x + 2y = 0$. D'où $x = 2$, $y = -1$, et $z = 2 - i$.

Vérification : $2(2 - i) + i(2 + i) = 4 - 2i + 2i - 1 = 3$.

Leçon 2 : Le plan complexe, module et argument

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Représentation géométrique

À tout nombre complexe $z = a + ib$, on associe le point $M(a\,;b)$ et le vecteur $\vec w(a\,;b)$.

• $M$ est l'image du complexe $z$, et $z$ est l'affixe du point $M$ ; on écrit $M(z)$.
• $z$ est aussi l'affixe du vecteur $\vec w$.
• L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées l'axe imaginaire. Le plan muni de cette correspondance s'appelle le plan complexe.

Propriétés. Pour deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ :

• le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$ ;
• le milieu $I$ de $[AB]$ a pour affixe $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}$ ;
• si $\vec w$ et \vec w\,' ont pour affixes $z$ et $z'$, alors \vec w + \vec w\,' a pour affixe $z + z'$, et $k\vec w$ a pour affixe $kz$ pour tout réel $k$.

Symétries. L'image de $\overline{z}$ est la symétrique de $M(z)$ par rapport à l'axe réel ; l'image de $-z$ est la symétrique de $M$ par rapport à $O$.

Exemple 1. $A(1 + i)$ et $B(4 + 5i)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A = 3 + 4i$, et le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{5 + 6i}{2} = \dfrac52 + 3i$.

2.2 Le module

Définition. Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\,\overline{z}}.$ Si $M$ est l'image de $z$, alors $|z| = OM$ : le module est une distance.

Conséquence. Pour deux points $A$ et $B$ : $AB = |z_B - z_A|.$

Exemple 2. $|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$, $|1 - i| = \sqrt2$, $|-2i| = 2$. Pour un réel $x$, le module est la valeur absolue : $|-3| = 3$. Avec les points de l'exemple 1, $AB = |3 + 4i| = 5$.

Propriétés. Pour tous complexes $z$ et $z'$, et tout entier naturel $n$ :

• $|z| = 0 \iff z = 0$ ;
• $|\overline{z}| = |z|$ et $|-z| = |z|$ ;
• $|z\,z'| = |z|\,|z'|$ et $|z^n| = |z|^n$ ;
• si $z' \neq 0$ : $\left|\dfrac{1}{z'}\right| = \dfrac{1}{|z'|}$ et $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$.

Démonstration pour le produit. $|z\,z'|^2 = z\,z'\;\overline{z\,z'} = z\,\overline{z}\;z'\,\overline{z'} = |z|^2|z'|^2$, et les modules sont positifs.

Attention. En général $|z + z'| \neq |z| + |z'|$ : par exemple $|1 + i| = \sqrt2$, alors que $|1| + |i| = 2$.

Exemple 3. $\left|\dfrac{(1 + i)^4}{3 - 4i}\right| = \dfrac{|1 + i|^4}{|3 - 4i|} = \dfrac{\left(\sqrt2\right)^4}{5} = \dfrac45$, sans développer.

S1 · S3 · S1A Inégalité triangulaire. Pour tous complexes $z$ et $z'$ : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$. Démonstration : $|z + z'|^2 = (z + z')(\overline{z} + \overline{z'}) = |z|^2 + |z'|^2 + z\,\overline{z'} + \overline{z}\,z' = |z|^2 + |z'|^2 + 2\,\mathrm{Re}\big(z\,\overline{z'}\big)$. Or la partie réelle d'un complexe est inférieure à son module, et $\left|z\,\overline{z'}\right| = |z|\,|z'|$. Donc $|z + z'|^2 \leq \big(|z| + |z'|\big)^2$. Géométriquement, avec $A(z)$ et $B(z + z')$ : $OB \leq OA + AB$.

2.3 L'argument

Définition. Soit $z$ un complexe non nul, d'image $M$. On appelle argument de $z$ toute mesure, en radians, de l'angle orienté $\big(\vec u, \overrightarrow{OM}\big)$. On note $\arg z$.

Un complexe non nul a une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de $2\pi$ : on écrit $\arg z = \theta\ [2\pi]$, et on lit « modulo deux pi ». L'unique argument situé dans $]-\pi\,;\pi]$ est l'argument principal. Le nombre $0$ n'a pas d'argument.

Exemple 4. $\arg 3 = 0$, $\arg(-2) = \pi$, $\arg i = \dfrac{\pi}{2}$, $\arg(-5i) = -\dfrac{\pi}{2}$ (à $2\pi$ près). Le point d'affixe $1 + i$ est sur la bissectrice du premier quadrant : $\arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.

Lien avec la forme algébrique. Si $z = a + ib$ a pour module $r$ et pour argument $\theta$, alors (cercle trigonométrique de rayon $r$) : $a = r\cos\theta \qquad b = r\sin\theta, \qquad\text{donc}\qquad \cos\theta = \frac{a}{r} \quad\text{et}\quad \sin\theta = \frac{b}{r}.$

Conséquence géométrique. Pour deux points distincts $A$ et $B$ : $\big(\vec u, \overrightarrow{AB}\big) = \arg(z_B - z_A)\ [2\pi].$

2.4 La forme trigonométrique

Définition. Tout complexe non nul $z$, de module $r$ et d'argument $\theta$, s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad r > 0.$ C'est la forme trigonométrique de $z$.

Unicité. Si $r > 0$ et $r' > 0$ : $r(\cos\theta + i\sin\theta) = r'(\cos\theta' + i\sin\theta') \iff r = r'$ et $\theta = \theta'\ [2\pi]$.

Méthode (de la forme algébrique à la forme trigonométrique).

1. On calcule le module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. On met $r$ en facteur : $z = r\left(\dfrac{a}{r} + i\,\dfrac{b}{r}\right)$.
3. On cherche un réel $\theta$ tel que $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$, avec les valeurs remarquables du cercle trigonométrique.

Exemple 5. $z = 1 + i\sqrt3$. $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, puis $z = 2\left(\dfrac12 + i\,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$. On cherche $\theta$ avec $\cos\theta = \dfrac12$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$ : $\theta = \dfrac{\pi}{3}$. Donc $z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Exemple 6. $z = -1 + i$. $r = \sqrt2$, $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt2}{2}$ : $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$. De même, $\sqrt3 - i = 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$.

Attention. Dans une forme trigonométrique, le facteur devant la parenthèse doit être strictement positif. Ainsi $-2\left(\cos\dfrac{\pi}{5} + i\sin\dfrac{\pi}{5}\right)$ n'est pas une forme trigonométrique. Comme $-1 = \cos\pi + i\sin\pi$, on obtient $2\left(\cos\dfrac{6\pi}{5} + i\sin\dfrac{6\pi}{5}\right)$ : le module vaut $2$ et un argument est $\dfrac{6\pi}{5}$, soit $-\dfrac{4\pi}{5}$ pour l'argument principal.

Conjugué et opposé. $\arg\overline{z} = -\arg z\ [2\pi]$ et $\arg(-z) = \arg z + \pi\ [2\pi]$ (symétries de la figure).

Exemple 7 (module et argument de $z_B - z_A$). $A(1 + i)$ et $B(3 + 3i)$. $z_B - z_A = 2 + 2i = 2\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$. Donc $AB = 2\sqrt2$ et $\big(\vec u, \overrightarrow{AB}\big) = \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$.

Leçon 3 : Forme exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 La notation $e^{i\theta}$

Notation (programme officiel). Pour tout réel $\theta$, on note $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$ C'est le complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ : son image est le point du cercle trigonométrique associé à $\theta$.

Exemple 1. $e^{i0} = 1$, $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{-i\frac{\pi}{2}} = -i$, $e^{2i\pi} = 1$, $e^{i\frac{\pi}{3}} = \dfrac12 + i\,\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Propriété fondamentale. Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ : $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}.$

Démonstration. On développe, puis on reconnaît les formules d'addition de Première : $(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta') = \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta').$

Conséquences. Pour tous réels $\theta$, $\theta'$ et tout entier $n$ : $\frac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}} \qquad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')} \qquad \left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}.$ Ces règles sont celles des puissances : c'est ce qui justifie la notation.

3.2 La forme exponentielle

Définition. Tout complexe non nul $z$, de module $r$ et d'argument $\theta$, s'écrit $z = r\,e^{i\theta}, \qquad r > 0.$ C'est la forme exponentielle de $z$ (notation $r\,e^{i\theta}$ du programme).

Exemple 2. $1 + i\sqrt3 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$, $-1 + i = \sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$, $-3 = 3e^{i\pi}$, $\sqrt3 - i = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Propriétés. Si $z = r\,e^{i\theta}$ et $z' = r'\,e^{i\theta'}$, alors, pour tout entier $n$ : $z\,z' = rr'\,e^{i(\theta + \theta')} \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')} \qquad z^n = r^n\,e^{in\theta} \qquad \overline{z} = r\,e^{-i\theta}.$ Autrement dit, les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent : $\arg(z\,z') = \arg z + \arg z' \qquad \arg\frac{z}{z'} = \arg z - \arg z' \qquad \arg(z^n) = n\arg z \qquad [2\pi].$

Exemple 3 (une formule de trigonométrie). Soit $z_1 = 1 + i = \sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt3 - i = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

• Forme exponentielle : $z_1 z_2 = 2\sqrt2\,e^{i\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)} = 2\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{12}}$.
• Forme algébrique : $z_1 z_2 = (1 + i)(\sqrt3 - i) = \sqrt3 - i + i\sqrt3 - i^2 = \left(\sqrt3 + 1\right) + i\left(\sqrt3 - 1\right)$.

En identifiant les parties réelles et imaginaires de $2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$ : $\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \qquad \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.$

3.3 La formule de Moivre

Théorème (formule de Moivre). Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n$ : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta), \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}.$

Démonstration. Pour $n$ entier naturel, par récurrence à partir de la propriété fondamentale : $\left(e^{i\theta}\right)^{n+1} = \left(e^{i\theta}\right)^n e^{i\theta} = e^{in\theta}e^{i\theta} = e^{i(n+1)\theta}$. Pour $n$ négatif, on passe à l'inverse.

Méthode. Pour calculer une puissance, on passe par la forme exponentielle.

Exemple 4. $(1 + i)^8 = \left(\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 e^{i\frac{8\pi}{4}} = 16\,e^{2i\pi} = 16.$

Exemple 5. Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $\left(1 + i\sqrt3\right)^n$ est-il réel ?

$\left(1 + i\sqrt3\right)^n = 2^n e^{i\frac{n\pi}{3}}$. Un complexe non nul est réel si et seulement si un de ses arguments est un multiple de $\pi$. Il faut donc $\dfrac{n\pi}{3} = k\pi$, avec $k$ entier, c'est-à-dire $n$ multiple de $3$. Par exemple $\left(1 + i\sqrt3\right)^3 = 8e^{i\pi} = -8$ et $\left(1 + i\sqrt3\right)^6 = 64$.

3.4 Racines n-ièmes de l'unité

Définition. Soit $n$ un entier, $n \geq 2$. On appelle racine $n$-ième de l'unité tout complexe $z$ tel que $z^n = 1$.

Théorème. Il y a exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité : $\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1.$

Démonstration. $z = 0$ n'est pas solution. On écrit $z = r\,e^{i\theta}$ avec $r > 0$. Alors $z^n = 1 \iff r^n e^{in\theta} = 1\,e^{i0} \iff r^n = 1 \text{ et } n\theta = 0\ [2\pi] \iff r = 1 \text{ et } \theta = \frac{2k\pi}{n},\ k \in \mathbb{Z}.$ Quand $k$ augmente de $n$, $\theta$ augmente de $2\pi$ et on retrouve le même complexe : il suffit de prendre $k = 0, 1, \dots, n - 1$, qui donnent $n$ points distincts du cercle trigonométrique.

Interprétation géométrique. Les images des racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d'affixe $1$ : deux sommets consécutifs sont séparés d'un angle $\dfrac{2\pi}{n}$.

Exemple 6 ($n = 3$). Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\dfrac12 + i\,\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $j^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\dfrac12 - i\,\dfrac{\sqrt3}{2} = \overline{j}$. Leurs images forment un triangle équilatéral. On vérifie que $1 + j + j^2 = 0$.

Exemple 7 ($n = 4$). Les racines quatrièmes de l'unité sont $1$, $i$, $-1$, $-i$ : un carré.

3.5 Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Théorème. Soit $Z = R\,e^{i\alpha}$ un complexe non nul ($R > 0$) et $n \geq 2$. L'équation $z^n = Z$ a exactement $n$ solutions : $z_k = \sqrt[n]{R}\;e^{i\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1,$ où $\sqrt[n]{R} = R^{\frac1n}$ est la racine $n$-ième du réel positif $R$ (chapitre 3).

Démonstration. Avec $z = r\,e^{i\theta}$ : $r^n e^{in\theta} = R\,e^{i\alpha} \iff r^n = R$ et $n\theta = \alpha\ [2\pi] \iff r = \sqrt[n]{R}$ et $\theta = \dfrac{\alpha}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}$.

Les images des $z_k$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt[n]{R}$. Si $z_0$ est l'une des racines, les autres s'obtiennent en multipliant $z_0$ par les racines $n$-ièmes de l'unité.

Exemple 8. Racines cubiques de $8i$. On a $8i = 8e^{i\frac{\pi}{2}}$, donc $r = \sqrt[3]{8} = 2$ et $\theta = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}$ : $z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{6}} = \sqrt3 + i \qquad z_1 = 2e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt3 + i \qquad z_2 = 2e^{i\frac{3\pi}{2}} = -2i.$ Vérification : $(-2i)^3 = -8i^3 = 8i$. Les trois points forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $2$.

Cas $n = 2$. Les deux racines carrées de $Z = R\,e^{i\alpha}$ sont $\sqrt{R}\,e^{i\frac{\alpha}{2}}$ et son opposé $-\sqrt{R}\,e^{i\frac{\alpha}{2}}$. Quand l'argument de $Z$ n'est pas un angle remarquable, on utilise la méthode algébrique de la leçon 5.

Leçon 4 : Formules d'Euler et trigonométrie

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Les formules d'Euler

En ajoutant et en retranchant $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ :

Formules d'Euler. Pour tout réel $\theta$ : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad\qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.$ Plus généralement, pour tout entier $n$ : $e^{in\theta} + e^{-in\theta} = 2\cos(n\theta)$ et $e^{in\theta} - e^{-in\theta} = 2i\sin(n\theta)$.

4.2 Établir des formules avec la formule de Moivre

On développe $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ avec le binôme de Newton (Première), puis on identifie avec $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.

Rappel : le triangle de Pascal. Les coefficients de $(a + b)^n$ sont :

Par exemple $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Exemple 1 (cos 3θ et sin 3θ). On note $c = \cos\theta$ et $s = \sin\theta$. Avec $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ : $\cos(3\theta) + i\sin(3\theta) = (c + is)^3 = c^3 + 3c^2(is) + 3c(is)^2 + (is)^3 = \left(c^3 - 3cs^2\right) + i\left(3c^2s - s^3\right).$ Par identification, puis avec $s^2 = 1 - c^2$ et $c^2 = 1 - s^2$ : $\cos(3\theta) = c^3 - 3cs^2 = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \qquad \sin(3\theta) = 3c^2s - s^3 = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta.$

Avec $n = 2$, on retrouve les formules de duplication : $\cos(2\theta) = c^2 - s^2$ et $\sin(2\theta) = 2sc$.

Remarque. Le programme précise que les formules ainsi obtenues n'ont pas à être mémorisées : il faut savoir les retrouver.

4.3 Linéariser

Linéariser une expression comme $\cos^n\theta$, $\sin^n\theta$ ou un produit de ces fonctions, c'est l'écrire comme une somme de termes en $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$, sans puissance ni produit. C'est indispensable pour en calculer une primitive (chapitre 5).

Méthode.

1. On remplace chaque cosinus et chaque sinus par sa formule d'Euler.
2. On développe (binôme de Newton).
3. On regroupe les termes deux à deux, $e^{ik\theta}$ avec $e^{-ik\theta}$, et on revient aux cosinus et sinus avec les formules d'Euler.

Exemple 2. Linéariser $\cos^3\theta$. $\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac18\left(e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}\right),$ car $e^{2i\theta}e^{-i\theta} = e^{i\theta}$. On regroupe : $\dfrac18\Big(2\cos(3\theta) + 6\cos\theta\Big)$, donc $\cos^3\theta = \frac{\cos(3\theta) + 3\cos\theta}{4}.$

Exemple 3. Linéariser $\sin^4\theta$. On a $(2i)^4 = 16$, et les coefficients de la ligne $4$ du triangle de Pascal avec des signes alternés : $\sin^4\theta = \frac{1}{16}\left(e^{i\theta} - e^{-i\theta}\right)^4 = \frac{1}{16}\left(e^{4i\theta} - 4e^{2i\theta} + 6 - 4e^{-2i\theta} + e^{-4i\theta}\right) = \frac{1}{16}\Big(2\cos(4\theta) - 8\cos(2\theta) + 6\Big),$ $\sin^4\theta = \frac{\cos(4\theta) - 4\cos(2\theta) + 3}{8}.$

Exemple 4 (un produit). $\cos(2\theta)\cos\theta = \dfrac{e^{2i\theta} + e^{-2i\theta}}{2} \times \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \dfrac14\left(e^{3i\theta} + e^{i\theta} + e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}\right) = \dfrac{\cos(3\theta) + \cos\theta}{2}.$

De la même façon, pour tous réels $a$ et $b$ : $\cos a\cos b = \dfrac{\cos(a + b) + \cos(a - b)}{2}$. Un produit est ainsi converti en somme.

Exemple 5 (application au calcul intégral). $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(3x) + 3\cos x}{4}\,dx = \left[\frac{\sin(3x)}{12} + \frac{3\sin x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{12} + \frac34 = \frac23.$

S1 · S3 · S1A Le programme de S1-S3 limite la linéarisation aux exposants au plus égaux à $5$.

Leçon 5 : Équations dans $\mathbb{C}$

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Racines carrées d'un nombre complexe

Définition. Une racine carrée du complexe $Z$ est un complexe $z$ tel que $z^2 = Z$. Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées (leçon 3).

Cas d'un réel. Si $d > 0$, les racines carrées de $d$ sont $\sqrt d$ et $-\sqrt d$ ; celles de $-d$ sont $i\sqrt d$ et $-i\sqrt d$, car $\left(i\sqrt d\right)^2 = -d$. Par exemple, les racines carrées de $-9$ sont $3i$ et $-3i$.

Attention. L'écriture $\sqrt{\phantom{x}}$ est réservée aux réels positifs : on n'écrit jamais $\sqrt{-9}$ ni $\sqrt{3 + 4i}$.

Méthode algébrique. On cherche $z = x + iy$ ($x$, $y$ réels) tel que $z^2 = Z$, avec $Z = a + ib$.

• $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$, donc par identification : $x^2 - y^2 = a$ et $2xy = b$.
• De plus $|z|^2 = |Z|$ : $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• On obtient $x^2$ et $y^2$ en ajoutant et en retranchant les deux équations en $x^2$ et $y^2$. Le signe de $xy$, qui est celui de $b$, permet de choisir les signes.

Exemple 1. Racines carrées de $Z = 8 - 6i$. $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8 \\ x^2 + y^2 = |8 - 6i| = 10 \\ 2xy = -6 \end{cases}$ On obtient $x^2 = 9$ et $y^2 = 1$, donc $x = \pm 3$ et $y = \pm 1$. Comme $xy = -3 < 0$, $x$ et $y$ sont de signes contraires : les racines carrées de $8 - 6i$ sont $3 - i$ et $-3 + i$.

Vérification : $(3 - i)^2 = 9 - 6i + i^2 = 8 - 6i$.