Devoir sur 20 : Calcul intégral

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4 (il ne porte que sur le socle commun). Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (8 points)

Calculer les intégrales suivantes. (5 points) a. $\displaystyle\int_0^1 (x^3 - 2x + 1)\,dx$ b. $\displaystyle\int_0^2 \frac{x}{x^2+1}\,dx$ c. $\displaystyle\int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$ d. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin x\,dx$ , à l'aide d'une intégration par parties
On fait tourner autour de l'axe des abscisses la courbe de $x \mapsto e^x$ sur $[0;1]$ . Calculer le volume du solide obtenu, en unités de volume. On rappelle que $V = \pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx$ . (1 point)
Soit $J = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^2}{1+x}\,dx$ . Montrer que, pour tout $x$ de $[0;1]$ , $\dfrac{x^2}{2} \leq \dfrac{x^2}{1+x} \leq x^2$ , puis en déduire que $\dfrac16 \leq J \leq \dfrac13$ . (2 points)

Exercice 2 (12 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}.$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé d'unité $2$ cm.

Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$ . Montrer que $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ , avec la valeur exacte de son maximum. (3 points)
Étudier le signe de $f(x)$ sur $[1;+\infty[$ . (1 point)
Pour $\lambda > 1$ , on pose $A(\lambda) = \displaystyle\int_1^{\lambda} \frac{\ln x}{x^2}\,dx$ . À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $A(\lambda) = 1 - \frac{1 + \ln\lambda}{\lambda}.$ (3 points)
Interpréter graphiquement $A(\lambda)$ . Calculer la valeur exacte de $A(e)$ , puis une valeur approchée en cm² au centième près. Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty} A(\lambda)$ . (3 points)
À l'aide du sens de variation de $f$ sur $[\sqrt e;e]$ , montrer que $\frac{e - \sqrt e}{e^2} \leq \int_{\sqrt e}^{e} f(x)\,dx \leq \frac{e - \sqrt e}{2e}.$ (2 points)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1.a (1 pt) $\left[\dfrac{x^4}{4} - x^2 + x\right]_0^1 = \dfrac14 - 1 + 1 = \dfrac14$ .

1.b (1 pt) Forme $\frac12\frac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$ : $\dfrac12\Big[\ln(x^2+1)\Big]_0^2 = \dfrac{\ln 5}{2}$ .

1.c (1 pt) Forme $u'u^2$ avec $u = \ln x$ : $\left[\dfrac{(\ln x)^3}{3}\right]_1^e = \dfrac13$ .

1.d (2 pts) (1 pt) $u = x$ , $v' = \sin x$ ; $u' = 1$ , $v = -\cos x$ . (1 pt) $\Big[-x\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} + \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = 0 + \Big[\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$ .

2. (1 pt) $V = \pi\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx = \pi\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi(e^2 - 1)}{2} \approx 10{,}04$ u.v.

3. (2 pts)

(1 pt) Pour $x \in [0;1]$ , $1 \leq 1 + x \leq 2$ , donc $\dfrac12 \leq \dfrac{1}{1+x} \leq 1$ . En multipliant par $x^2 \geq 0$ : $\dfrac{x^2}{2} \leq \dfrac{x^2}{1+x} \leq x^2$ .
(1 pt) On intègre entre $0$ et $1$ (bornes dans l'ordre croissant) : $\displaystyle\int_0^1 \frac{x^2}{2}\,dx = \frac16$ et $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$ , d'où $\dfrac16 \leq J \leq \dfrac13$ . Pour information, $J = \ln 2 - \frac12 \approx 0{,}193$ .

Exercice 2

1. (3 pts)

(1 pt) En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$ , donc $f(x) \to -\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée). En $+\infty$ : $\dfrac{\ln x}{x^2} \to 0$ (croissance comparée).
(1 pt) $f'(x) = \dfrac{\frac1x \times x^2 - \ln x \times 2x}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}$ .
(1 pt) Sur $]0;+\infty[$ , $x^3 > 0$ et $1 - 2\ln x > 0 \iff x < \sqrt e$ . Donc $f$ est croissante sur $]0;\sqrt e]$ et décroissante sur $[\sqrt e;+\infty[$ . Son maximum vaut $f(\sqrt e) = \dfrac{\frac12}{e} = \dfrac{1}{2e} \approx 0{,}18$ .

2. (1 pt) Pour $x \geq 1$ , $\ln x \geq 0$ et $x^2 > 0$ , donc $f(x) \geq 0$ (nul seulement en $1$ ).

3. (3 pts)

(1 pt) $u = \ln x$ , $v' = \dfrac{1}{x^2}$ ; $u' = \dfrac1x$ , $v = -\dfrac1x$ .
(1 pt) $A(\lambda) = \left[-\dfrac{\ln x}{x}\right]_1^{\lambda} + \displaystyle\int_1^{\lambda} \frac{1}{x^2}\,dx = -\dfrac{\ln\lambda}{\lambda} + \left[-\dfrac1x\right]_1^{\lambda}$ .
(1 pt) $A(\lambda) = -\dfrac{\ln\lambda}{\lambda} - \dfrac1\lambda + 1 = 1 - \dfrac{1 + \ln\lambda}{\lambda}$ .

4. (3 pts)

(1 pt) Comme $f \geq 0$ sur $[1;\lambda]$ , $A(\lambda)$ est l'aire, en u.a., du domaine limité par $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = \lambda$ .
(1 pt) $A(e) = 1 - \dfrac2e \approx 0{,}264$ u.a. Avec $1$ u.a. $= 4$ cm², l'aire vaut environ $1{,}06$ cm².
(1 pt) $\dfrac1\lambda \to 0$ et $\dfrac{\ln\lambda}{\lambda} \to 0$ (croissance comparée), donc $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty} A(\lambda) = 1$ .

5. (2 pts)

(1 pt) D'après la question 1, $f$ est décroissante sur $[\sqrt e;e]$ . Pour $x$ dans cet intervalle, $f(e) \leq f(x) \leq f(\sqrt e)$ , avec $f(e) = \dfrac{1}{e^2}$ et $f(\sqrt e) = \dfrac{1}{2e}$ .
(1 pt) L'inégalité de la moyenne, sur un intervalle de longueur $e - \sqrt e$ , donne l'encadrement demandé, soit environ $0{,}145 \leq \displaystyle\int_{\sqrt e}^{e} f(x)\,dx \leq 0{,}197$ .

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1.a à 1.c	O1 Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
Ex. 1, 1.d et Ex. 2, 3	O6 Intégration par parties
Ex. 1, 2	O8 Volume d'un solide de révolution
Ex. 1, 3 et Ex. 2, 5	O5 et O9 Inégalités, inégalité de la moyenne, encadrements
Ex. 2, 1 et 2	Rappels des chapitres 1 et 3 (limites, croissance comparée, variations)
Ex. 2, 4	O2 et O7 Aire d'un domaine, unités