Calcul intégral

Leçon 1 : L'intégrale d'une fonction continue

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1.1 Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$. La fonction $f$ admet des primitives sur $I$. Si $F$ et $G$ sont deux d'entre elles, il existe une constante $C$ telle que $G = F + C$, donc $G(b) - G(a) = \big(F(b) + C\big) - \big(F(a) + C\big) = F(b) - F(a).$ Le nombre $F(b) - F(a)$ ne dépend donc pas de la primitive choisie.

Définition. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels de $I$, et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. On appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$ le réel $F(b) - F(a)$. On le note $\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a).$

Vocabulaire et notations.

• $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale. On ne suppose pas $a < b$.
• La lettre $x$ est une variable muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du$. Le symbole $dx$ indique la variable par rapport à laquelle on intègre.
• Directement à partir de la définition : $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.

Méthode. Pour calculer une intégrale : on cherche une primitive $F$ (chapitres 2 et 3), on l'écrit entre crochets, puis on calcule $F(b) - F(a)$, la borne du haut moins la borne du bas.

1.2 Premiers calculs

Exemple 1. $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac83.$

Exemple 2. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2.$

Exemple 3. $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$ et $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = \Big[e^x\Big]_0^1 = e - 1.$

Exemple 4. $\displaystyle\int_2^0 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_2^0 = 0 - 2 = -2.$ La borne du bas est plus grande que celle du haut : on calcule quand même « haut moins bas ».

Erreur fréquente. Oublier les crochets et écrire directement $\frac{x^3}{3}$ : une intégrale est un nombre, pas une fonction.

1.3 Interprétation graphique : l'aire sous la courbe

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, I, J)$. L'unité d'aire (notée u.a.) est l'aire du rectangle construit sur $OI$ et $OJ$.

Propriété (interprétation géométrique). Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$, avec $a < b$. L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.

Pourquoi ? (idée de la démonstration). Pour $x$ dans $[a;b]$, notons $A(x)$ l'aire du domaine compris entre $a$ et $x$. Quand on passe de $x$ à $x + h$ ($h > 0$ petit), on ajoute une bande étroite. Si $m_h$ et $M_h$ sont la plus petite et la plus grande valeur de $f$ sur $[x;x+h]$, cette bande contient un rectangle d'aire $m_h \times h$ et elle est contenue dans un rectangle d'aire $M_h \times h$ : $m_h \leq \frac{A(x+h) - A(x)}{h} \leq M_h.$ Comme $f$ est continue, $m_h$ et $M_h$ tendent vers $f(x)$ quand $h$ tend vers $0$. Donc $A'(x) = f(x)$ : la fonction aire $A$ est une primitive de $f$, et $A(a) = 0$. Ainsi $A(b) = A(b) - A(a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Exemple 5 (vérification par la géométrie). $\displaystyle\int_0^2 (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_0^2 = 2 + 2 = 4.$

Le domaine est un trapèze de bases $f(0) = 1$ et $f(2) = 3$, et de hauteur $2$. Son aire vaut $\dfrac{(1 + 3) \times 2}{2} = 4$ u.a. Les deux calculs concordent.

Exemple 6. D'après l'exemple 1, le domaine sous la parabole $y = x^2$, entre $x = 0$ et $x = 2$, a pour aire $\dfrac83 \approx 2{,}67$ u.a. D'après l'exemple 2, une arche de sinusoïde a pour aire exactement $2$ u.a.

Une intégrale sans primitive connue. L'aire donne parfois la valeur d'une intégrale qu'on ne sait pas calculer avec une primitive. La courbe de $x \mapsto \sqrt{4 - x^2}$ sur $[-2;2]$ est le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $2$ (au-dessus de l'axe). Donc, dans un repère orthonormé, $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx = \frac{\pi \times 2^2}{2} = 2\pi.$

1.4 La fonction $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$

Théorème (programme officiel). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant le point $a$. La fonction $\Phi : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui prend la valeur $0$ au point $a$.

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tout $x$ de $I$, $\Phi(x) = F(x) - F(a)$. La fonction $\Phi$ diffère de $F$ d'une constante : c'est une primitive de $f$, et $\Phi(a) = 0$. Elle est unique, car une primitive est déterminée par sa valeur en un point (chapitre 2).

Conséquence. $\Phi$ est dérivable sur $I$ et $\Phi'(x) = f(x)$. On peut donc étudier $\Phi$ sans connaître de formule pour elle.

Exemple 7. Pour $x > 0$, $\displaystyle\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$ : c'est la définition du chapitre 3 (la primitive de $\frac1t$ qui s'annule en $1$), écrite avec une intégrale.

Exemple 8. Soit $G(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ pour $x$ réel. On ne connaît aucune formule pour $G$. Pourtant :

• $G$ est la primitive de $x \mapsto e^{-x^2}$ qui s'annule en $0$ ;
• $G'(x) = e^{-x^2} > 0$, donc $G$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
• comme $G(0) = 0$, on a $G(x) > 0$ pour $x > 0$ et $G(x) < 0$ pour $x < 0$.

Interprétation physique. Si un mobile se déplace sur un axe, avec une position $x(t)$ et une vitesse $v(t) = x'(t)$ continue, alors $x$ est une primitive de $v$ et $\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = x(t_2) - x(t_1) :$ l'intégrale de la vitesse est le déplacement entre les instants $t_1$ et $t_2$.

Leçon 2 : Propriétés de l'intégrale

Voir la vidéo de la leçon 2

Dans toute la leçon, $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, et $a$, $b$, $c$ sont des réels de $I$.

2.1 Relation de Chasles

Propriété. $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx.$

Démonstration. Avec une primitive $F$ : $F(c) - F(a) = \big(F(b) - F(a)\big) + \big(F(c) - F(b)\big)$.

Interprétation graphique. Pour $f$ positive et $a < b < c$, l'aire entre $a$ et $c$ est la somme de l'aire entre $a$ et $b$ et de l'aire entre $b$ et $c$.

Exemple 1. Calculer $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$.

On ne connaît pas directement de primitive de $|x - 1|$ sur $[0;3]$, mais on sait l'écrire sans valeur absolue sur chaque morceau : $|x - 1| = 1 - x$ sur $[0;1]$ et $|x - 1| = x - 1$ sur $[1;3]$. Par la relation de Chasles : $\int_0^3 |x-1|\,dx = \int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_1^3 = \frac12 + 2 = \frac52.$ Vérification graphique : deux triangles, d'aires $\frac12$ et $2$.

2.2 Linéarité

Propriété. Pour tout réel $k$ : $\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx \qquad\qquad \int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx.$

Démonstration. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $kF$ une primitive de $kf$.

Exemple 2. $\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{4}{x}\right)dx = 3\int_1^2 x^2\,dx - 4\int_1^2 \frac{dx}{x} = 3 \times \frac73 - 4\ln 2 = 7 - 4\ln 2.$

Attention. Il n'y a pas de formule pour l'intégrale d'un produit : en général, $\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)\,dx \neq \int_a^b f(x)\,dx \times \int_a^b g(x)\,dx$. Pour les produits, on utilisera l'intégration par parties (leçon 3).

2.3 Positivité

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \geq 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$. Comme $F' = f \geq 0$ sur $[a;b]$, $F$ est croissante sur $[a;b]$, donc $F(b) \geq F(a)$.

Attention.

• L'ordre des bornes compte : $\displaystyle\int_1^0 x\,dx = -\frac12 < 0$, alors que $x \geq 0$ sur $[0;1]$.
• La réciproque est fausse : $\displaystyle\int_{-1}^{2} x\,dx = \frac32 > 0$, alors que $x$ prend des valeurs négatives sur $[-1;2]$.

Fonction négative. Si $a \leq b$ et $f \leq 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq 0$, et l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses vaut $\displaystyle-\int_a^b f(x)\,dx$ (la courbe de $-f$ est symétrique de celle de $f$ par rapport à l'axe des abscisses). Par exemple, $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = -2$ : l'arche située sous l'axe a pour aire $2$ u.a.

2.4 Intégration et inégalités

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \leq g$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx.$

Démonstration. $g - f \geq 0$ sur $[a;b]$, donc $\displaystyle\int_a^b (g - f) \geq 0$ par positivité, et on conclut par linéarité.

Interprétation graphique. Si $0 \leq f \leq g$, le domaine sous la courbe de $f$ est contenu dans le domaine sous la courbe de $g$ : son aire est plus petite. On dit qu'on peut intégrer une inégalité, à condition que les bornes soient dans l'ordre croissant.

Exemple 3. Sur $[0;1]$, on a $x^2 \leq x$, donc $-x \leq -x^2$, et comme $\exp$ est croissante, $e^{-x} \leq e^{-x^2}$. En intégrant : $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \geq \int_0^1 e^{-x}\,dx = \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = 1 - \frac1e.$

2.5 Inégalité de la moyenne

Propriété (inégalité de la moyenne). Si $a \leq b$ et si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $[a;b]$, alors $m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b - a).$

Démonstration. On intègre l'inégalité $m \leq f \leq M$ entre $a$ et $b$, avec $\displaystyle\int_a^b m\,dx = m(b-a)$.

Interprétation graphique. Pour $f$ positive, l'aire sous la courbe est comprise entre celle du rectangle de hauteur $m$ et celle du rectangle de hauteur $M$, tous deux de base $[a;b]$.

Autre forme. Si $|f(x)| \leq M$ sur l'intervalle d'extrémités $a$ et $b$, alors $\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq M\,|b - a|$.

Exemple 4. Encadrer $I = \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$.

On ne connaît pas de primitive de $e^{-x^2}$. Sur $[0;1]$, $x^2$ croît de $0$ à $1$, donc $e^{-x^2}$ décroît de $1$ à $e^{-1}$ : $\dfrac1e \leq e^{-x^2} \leq 1$. L'inégalité de la moyenne donne $\dfrac1e \leq I \leq 1$. Avec l'exemple 3, qui est plus précis à gauche : $1 - \frac1e \leq I \leq 1, \quad\text{soit}\quad 0{,}63 \leq I \leq 1.$

2.6 Intégrale et valeur absolue

Propriété. Si $a \leq b$ : $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx.$

Démonstration. La fonction $|f|$ est continue. Pour tout $x$, $-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|$. On intègre : $\displaystyle-\int_a^b |f| \leq \int_a^b f \leq \int_a^b |f|$.

Exemple 5. $\left|\displaystyle\int_0^1 e^{-x}\cos(5x)\,dx\right| \leq \displaystyle\int_0^1 e^{-x}|\cos(5x)|\,dx \leq \int_0^1 e^{-x}\,dx = 1 - \frac1e$, car $|\cos(5x)| \leq 1$.

Leçon 3 : Calculer une intégrale

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Avec une primitive

Tout repose sur les primitives des chapitres 2 et 3. Dans le tableau, $u$ est dérivable sur l'intervalle de travail, de dérivée continue.

Méthode. On reconnaît la forme, on fait apparaître $u'$ en ajustant une constante si besoin, puis on écrit la primitive entre crochets.

Exemple 1. $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \Big[\ln(x^2+1)\Big]_0^1 = \ln 2$ : forme $\frac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$.

Exemple 2. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \left[\frac12 e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{2}$ : forme $u'e^u$ avec $u = x^2$.

Exemple 3. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\cos^2 x\,dx$. Avec $u = \cos x$, $u' = -\sin x$, donc $\sin x\cos^2 x = -u'u^2$ : $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\cos^2 x\,dx = \left[-\frac{\cos^3 x}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0 - \left(-\frac13\right) = \frac13.$

Exemple 4. $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)^3\,dx = \left[\frac{(2x+1)^4}{8}\right]_0^1 = \frac{81 - 1}{8} = 10$ : forme $f(ax+b)$, une primitive de $u^3$ étant $\frac{u^4}{4}$, et $\frac14 \times \frac12 = \frac18$.

3.2 Transformer l'écriture d'abord

Quand aucune forme n'apparaît, on transforme l'expression. L'énoncé donne en général l'indication.

Exemple 5. Avec $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$ : $\int_0^{\pi} \cos^2 x\,dx = \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}.$

Exemple 6. Pour $x \neq -1$, $\dfrac{x}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$. Donc $\int_0^1 \frac{x}{x+1}\,dx = \Big[x - \ln(x+1)\Big]_0^1 = 1 - \ln 2.$

3.3 Intégration par parties

Théorème. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, de dérivées $u'$ et $v'$ continues sur $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$. Alors $\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx.$

Démonstration. La fonction $uv$ est dérivable et $(uv)' = u'v + uv'$, qui est continue. Donc $uv$ est une primitive de $u'v + uv'$ : $\int_a^b \big(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\big)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b.$ On conclut par linéarité.

Méthode.

1. On écrit la fonction à intégrer comme un produit $u \times v'$.
2. On choisit pour $u$ le facteur qui se simplifie quand on le dérive (un polynôme, ou $\ln x$), et pour $v'$ un facteur dont on connaît une primitive $v$ ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$…).
3. On écrit les quatre fonctions $u$, $u'$, $v'$, $v$, puis on applique la formule.

Exemple 7. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$. On pose $u(x) = x$, $v'(x) = e^x$ ; d'où $u'(x) = 1$, $v(x) = e^x$. $\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1.$

Exemple 8. $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$. On pose $u(x) = x$, $v'(x) = \sin x$ ; d'où $u'(x) = 1$, $v(x) = -\cos x$. $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx = \pi + \Big[\sin x\Big]_0^{\pi} = \pi.$

Exemple 9 (le logarithme). $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$. On écrit $\ln x = \ln x \times 1$ et on pose $u(x) = \ln x$, $v'(x) = 1$ ; d'où $u'(x) = \frac1x$, $v(x) = x$. $\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e \frac1x \times x\,dx = e - (e - 1) = 1.$ Le même calcul, de $1$ à $x$, montre que $x \mapsto x\ln x - x$ est une primitive de $\ln$ sur $]0;+\infty[$.

Exemple 10 (deux intégrations par parties). $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$. On pose $u(x) = x^2$, $v'(x) = e^x$ ; d'où $u'(x) = 2x$, $v(x) = e^x$. $\int_0^1 x^2e^x\,dx = \Big[x^2e^x\Big]_0^1 - 2\int_0^1 x\,e^x\,dx = e - 2 \times 1 = e - 2,$ en utilisant l'exemple 7 pour la dernière intégrale.

Erreur fréquente. Choisir $u(x) = e^x$ et $v'(x) = x$ dans l'exemple 7 : on obtient $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$, plus compliquée que l'intégrale de départ. Si le calcul se complique, on échange les rôles.

Leçon 4 : Calcul d'aires

Voir la vidéo de la leçon 4

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Les aires sont d'abord exprimées en unités d'aire (u.a.).

4.1 Aire et signe de la fonction

Soit $f$ continue sur $[a;b]$, $a < b$, et $\mathcal{D}$ le domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.

Exemple 1. Soit $f(x) = x^2 - 1$ sur $[0;2]$.

L'intégrale vaut $\displaystyle\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^2 = \frac83 - 2 = \frac23$.

Mais $f \leq 0$ sur $[0;1]$ et $f \geq 0$ sur $[1;2]$. L'aire du domaine vaut donc $\mathcal{A} = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \frac23 + \frac43 = 2 \text{ u.a.}$ L'intégrale ($\frac23$) n'est pas l'aire ($2$) : elle compte négativement la partie située sous l'axe.

4.2 Aire entre deux courbes

Propriété. Soient $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$, $a < b$, avec $g \leq f$ sur $[a;b]$. L'aire du domaine limité par les deux courbes et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut $\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \text{ u.a.}$

Justification. Si $0 \leq g \leq f$, c'est la différence entre l'aire sous la courbe de $f$ et l'aire sous la courbe de $g$. Sinon, on ajoute une même constante $k$ aux deux fonctions pour les rendre positives : le domaine est seulement translaté vers le haut, son aire ne change pas, et $(f + k) - (g + k) = f - g$.

Méthode.

1. On cherche les abscisses des points d'intersection : $f(x) = g(x)$.
2. On étudie le signe de $f(x) - g(x)$ pour savoir quelle courbe est au-dessus.
3. On intègre « la courbe du haut moins la courbe du bas ».

Exemple 2. Aire du domaine limité par la parabole $\mathcal{P} : y = 4 - x^2$ et la droite $\mathcal{D} : y = x + 2$.

Intersections. $4 - x^2 = x + 2 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff x = 1$ ou $x = -2$.

Position. $(4 - x^2) - (x + 2) = 2 - x - x^2 = -(x - 1)(x + 2)$, positif sur $[-2;1]$ : la parabole est au-dessus.

Aire. $\mathcal{A} = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \frac76 - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac92 \text{ u.a.}$

Exemple 3 (courbe et asymptote). Soit $f(x) = x + 1 + \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0;+\infty[$, dont la courbe admet la droite $\Delta : y = x + 1$ pour asymptote en $+\infty$. Aire du domaine limité par la courbe, $\Delta$ et les droites $x = 1$ et $x = e$.

$f(x) - (x + 1) = \dfrac{\ln x}{x} \geq 0$ sur $[1;e]$ : la courbe est au-dessus de $\Delta$. Forme $u'u$ avec $u = \ln x$ : $\mathcal{A} = \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac12 \text{ u.a.}$

4.3 Les unités

Si le repère a pour unités $\|\overrightarrow{OI}\| = p$ cm et $\|\overrightarrow{OJ}\| = q$ cm, alors $1$ u.a. $= p \times q$ cm².

Exemple 4. Dans l'exemple 2, avec un repère d'unités $2$ cm en abscisse et $3$ cm en ordonnée, $1$ u.a. $= 6$ cm², et l'aire vaut $\dfrac92 \times 6 = 27$ cm².

À retenir. Au bac, une aire se donne toujours avec son unité : en u.a., puis en cm² si le repère est précisé.

Leçon 5 : Calcul de volumes

Voir la vidéo de la leçon 5

L'espace est muni d'un repère orthonormé. L'unité de volume (u.v.) est le volume du cube construit sur les trois vecteurs unités.

5.1 Volume à l'aide des sections planes

Un solide est compris entre les plans d'équations $z = a$ et $z = b$, avec $a < b$. Pour chaque $z$ de $[a;b]$, le plan de cote $z$ coupe le solide selon une surface d'aire $S(z)$.

Formule (programme officiel). Si la fonction $S$ est continue sur $[a;b]$, le volume du solide est $V = \int_a^b S(z)\,dz \text{ u.v.}$

Idée. On découpe le solide en tranches très fines d'épaisseur $dz$. Chaque tranche a un volume proche de $S(z)\,dz$ (aire de la base fois épaisseur), et on additionne : c'est le rôle de l'intégrale.

Exemple 1 (pyramide et cône). Une pyramide (ou un cône) a pour sommet $O$, pour hauteur $h$ et pour base une surface d'aire $B$, dans le plan $z = h$. La section à la cote $z$ est une réduction de la base, de rapport $\dfrac{z}{h}$ : son aire est $S(z) = B\left(\dfrac{z}{h}\right)^2$. Donc $V = \int_0^h \frac{B}{h^2}\,z^2\,dz = \frac{B}{h^2} \times \frac{h^3}{3} = \frac{Bh}{3}.$ On retrouve la formule connue depuis le collège.

Exemple 2 (la boule). Une boule de centre $O$ et de rayon $R$ est coupée par le plan de cote $z$ ($-R \leq z \leq R$) selon un disque de rayon $r(z) = \sqrt{R^2 - z^2}$ (théorème de Pythagore). Donc $S(z) = \pi(R^2 - z^2)$ et $V = \int_{-R}^{R} \pi(R^2 - z^2)\,dz = \pi\left[R^2z - \frac{z^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left(\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3.$

5.2 Solides de révolution

Soit $f$ continue sur $[a;b]$. En faisant tourner la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses, on obtient un solide de révolution. Sa section par le plan perpendiculaire à l'axe au point d'abscisse $x$ est un disque de rayon $|f(x)|$, d'aire $\pi f(x)^2$.

Formule (donnée à l'élève par le programme). $V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx \text{ u.v.}$

Exemple 3. La courbe de $f(x) = \sqrt x$ sur $[0;4]$ tourne autour de l'axe des abscisses. Le solide obtenu, en forme de bol, a pour volume $V = \pi\int_0^4 \left(\sqrt x\right)^2 dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \text{ u.v.}$

Exemple 4 (cône de révolution). Avec $f(x) = \dfrac{r}{h}\,x$ sur $[0;h]$, le segment tourne et engendre un cône de hauteur $h$ et de rayon de base $r$ : $V = \pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx = \frac{\pi r^2 h}{3}.$

Exemple 5. Avec $f(x) = e^{-x}$ sur $[0;1]$ : $V = \pi\displaystyle\int_0^1 e^{-2x}\,dx = \pi\left[-\frac{e^{-2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}\left(1 - e^{-2}\right) \approx 1{,}36$ u.v.

5.3 Les unités

Si l'unité de longueur du repère orthonormé vaut $p$ cm, alors $1$ u.v. $= p^3$ cm³.

Exemple 6. Dans l'exemple 3, avec une unité de $2$ cm : $1$ u.v. $= 8$ cm³ et $V = 8\pi \times 8 = 64\pi \approx 201$ cm³.

Leçon 6 : Encadrements et valeurs approchées

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Encadrer une intégrale

Quand on ne sait pas calculer une intégrale, on l'encadre. Deux outils :

• l'inégalité de la moyenne : on encadre $f$ par deux constantes $m$ et $M$, souvent grâce à son sens de variation ;
• la comparaison : on encadre $f$ par deux fonctions dont on sait calculer l'intégrale, puis on intègre l'encadrement (bornes dans l'ordre croissant).

C'est ce qu'on a fait pour $I = \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ à la leçon 2 : $1 - \dfrac1e \leq I \leq 1$.

6.2 Encadrer une fonction à l'aide d'intégrales

On peut aussi obtenir l'encadrement d'une fonction en intégrant un encadrement plus simple.

Exemple 1. Pour tout $t \geq 0$ : $1 - t \leq \dfrac{1}{1+t} \leq 1$.

Justification. $\dfrac{1}{1+t} \leq 1$ car $1 + t \geq 1$. Et $(1 - t)(1 + t) = 1 - t^2 \leq 1$, d'où $1 - t \leq \dfrac{1}{1+t}$ en divisant par $1 + t > 0$.

Soit $x \geq 0$. On intègre entre $0$ et $x$ (bornes dans l'ordre croissant) : $\int_0^x (1 - t)\,dt \leq \int_0^x \frac{dt}{1+t} \leq \int_0^x 1\,dt, \quad\text{soit}\quad x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1 + x) \leq x.$ Pour $x = 0{,}1$ : $0{,}095 \leq \ln(1{,}1) \leq 0{,}1$. La calculatrice donne $\ln(1{,}1) \approx 0{,}0953$.

6.3 Valeurs approchées d'une intégrale

Certaines fonctions continues, comme $x \mapsto e^{-x^2}$, n'ont pas de primitive qu'on sache écrire avec les fonctions connues. On calcule alors une valeur approchée de l'intégrale en remplaçant l'aire sous la courbe par des aires simples.

S1 · S3 · S1A Les méthodes des rectangles, des trapèzes et des tangentes sont au programme S1-S3.

Notations. On partage $[a;b]$ en $n$ intervalles de même longueur $h = \dfrac{b - a}{n}$, aux points $x_k = a + kh$ pour $k = 0, 1, \dots, n$. On a $x_0 = a$ et $x_n = b$.

Méthode des rectangles. Sur chaque intervalle $[x_k;x_{k+1}]$, on remplace $f$ par sa valeur au bord gauche (ou au bord droit) : $R_n = h\big[f(x_0) + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1})\big] \qquad R'_n = h\big[f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)\big].$ Si $f$ est monotone sur $[a;b]$, l'intégrale est comprise entre $R_n$ et $R'_n$ : sur chaque petit intervalle, $f$ est comprise entre ses valeurs aux deux bords, et l'inégalité de la moyenne puis la relation de Chasles donnent le résultat. L'écart entre les deux vaut $R_n - R'_n = h\,\big(f(a) - f(b)\big)$.